calculo

Universidad de La Frontera
´
Facultad de Ingenier´a, Ciencias y Administracion
ı
Departamento de Matem´ tica y Estad´stica
a
ı

TEMUCO, Abril 16 de 2013

C´ psula 5:Derivadas 2
a
C´ lculo en una variable (IME050)
a

1. Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
(a) f ( x ) = xsin 3x

(b) f ( x ) = x x

2. Halle laderivada y =
(a) y3 =

x

dy
dx

x−y
1 − y3
2y2
=
; Resp: y =
x+y
3( x2 − y2 ) + 2xy
1 + 3xy2 + 4y3

(b) tan y = xy ; Resp: y = −

y cos2 y
.
1 − x cos2 y

(c)Halle y en el punto P(2,1) si ( x + y)3 = 27( x − y) ; Resp: y = 0.
3. En cada caso verifique que si:
d2 y
dy
+ tan x + y cos2 x = 0
2
dx
dx
2y
d
dy
√
(b) x = tany, entonces ( x2 + 1)2 2 + 2x ( x2 + 1)
=2
dx
dx
arcsin x
dy
(c) y = √
, entonces (1 − x2 ) − xy = 1
2
dx
1−x
(a) y = sin(sin x ), entonces

´
4. ¿Para qu´ valoresa, b y c la funcion f ( x ) =
e

ax2

x3
+ bx + c

si x ≤ x0
tiene una segunda
si x > x0

derivada en x0 ?
d2 y
de las siguientes funciones y, dadas en formaparam´ trica:
e
dx2
1
x = acos3 t
, Resp: y =
.
y = a sin3 t
3acos4 t sin t

5. Calcule la derivada y =
(a)
(b)

x = cos2t
, Resp: y = 0.
y = sin2 t

6.Encuentre
(a) y en el punto (0,1) si x4 − xy + y4 = 1.
(b)

d3 y
en el punto (1,1) si x2 + 2xy + y2 − 4x + 2y − 2 = 0.
dx3

7. ¿En qu´ punto la tangente a la par´ bola y = x2 −7x + 3 es paralela a la recta 5x + y − 3 = 0?
e
a
1

8. Encuentre las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva

 x = 1+t

t3
en el punto (2, 2).

y =3 + 1
2t2 2t
9. Verifique que las curvas y = 4x2 + 2x − 8 y y = x3 − x + 10 son tangentes entre si en el
punto (3, 34). ¿Ocurrir´ lo mismo en el punto (−2, 4)?
a

2