calculo
Cap´
ıtulo 5: Integrales impropias
Cap´
ıtulo 5
Integrales impropias
5.1
Introducci´n
o
Definici´n 5.1.1 La integral:
o
b
f (x)dx
a
se dice:
(1) Impropia de primera especie si a = −∞ o b = ∞ o ambas posibilidades.
(2) Impropia de segunda especie si f (x) no es acotada en uno o m´s valores pertea
necientes al intervalo a, b . Tales puntos donde f (x) no est´acotada se denominan
a
singularidades de f .
(3) Impropia de tercera especie si es impropia de primera y de segunda especie respectivamente.
Nota:
Volumen de revoluci´n por medio de capas cil´
o
ındricas.
Tal como vemos en la figura 5.1, una capa cil´
ındrica es una regi´n acotada por
o
medio de dos cilindros circulares rectos y
conc´ntricos de igual altura h. Si el ciline
dro interiortiene radio basal r1 y el exterior tiene radio basal r2 , entonces el volumen encerrado es:
Y
2
2
V = πr2 h − πr1 h =
X
Fig. 5.1
r1 + r2
(r2 − r1 )h = 2π¯h∆r ,
r
2
luego, el volumen de revoluci´n de un
o
s´lido de revoluci´n por medio de capas
o
o
cil´
ındricas en torno al eje de ordenadas
ser´:
a
= 2π
b
V = 2π
xf (x)dx .
a
o
o
Problema 5.1.1 Determinarel volumen del s´lido de revoluci´n que se genera al rotar la
2
curva f (x) = e−x en torno al eje de ordenadas entre x = 0 y x = b cuando b → ∞.
170
CALCULO INTEGRAL
Fernando Arenas Daza
Soluci´n:
o
Considerando la figura 5.2, resulta:
∞
V = 2π
2
xe−x dx =
Y
0
b
= 2π lim
b→∞
0
= −π lim
X
O
b
b→∞
2
xe−x dx =
e
−x2
2
d(−x ) =0
2
= π lim e−x
b→∞
0
b
=π.
Fig. 5.2
En este ejemplo obtuvimos una integral
impropia de primera especie.
Problema 5.1.2 Calcular el ´rea encerrada por la curva f (x) =
a
tiene 0 ≤ x ≤
6
3
,x= .
5
5
cuando se
Soluci´n:
o
Considerando la figura 5.3, nos damos
cuenta que la funci´n f no est´ acotada
o
a
3
en x = . Por tal motivo, tendremos:
5
Y
3
5−h
σ = lim
h→0
O
2
3
1
5x − 3
3/5
6/5
X
0
6
5
+ lim
h→0
3
5 +h
2
3
1
5x − 3
1
5x − 3
2
3
dx+
dx ,
es claro que:
Fig. 5.3
dx
(5x − 3)
2
3
=
1
5
d(5x − 3)
(5x − 3)
2
3
=
1 √
·3 3 5x − 3 .
5
Luego:
σ=
3
5
lim
h→0
3
5
√
√
3
3
3
− h − 3 + 3 + lim
3−
h→0
5
3
5
3
+h −3
5En este ejemplo obtuvimos una integral impropia de segunda especie.
Problema 5.1.3 Estudiar la integral:
4
1
dx
x(4 − x)
.
=
6√
3
3.
5
171
Cap´
ıtulo 5: Integrales impropias
Soluci´n:
o
En este ejemplo parece que tenemos una integral impropia de segunda especie. En ella
hagamos:
u2 = 4 − x ⇒
dx = −2udu ,
x
4
1
→u
0
√
3
,
por lo tanto:4
1
dx
x(4 − x)
√
3
=2
0
√
3
du
√
=2
4 − u2
u
2
d
0
1−
√
u
2
2
= 2 Arcsen
3
2π
=
,
2
3
no es impropia.
b
Teorema 5.1.1 Sea
f (x)dx una integral impropia de segunda especie con singularidad
a
en b (o bien en a), entonces puede transformarse en una integral impropia de primera especie.
Demostraci´n:
o
H´gase : u =
a
1
1⇒b−x= ⇒
b−x
u
b
luego :
dx =
du
u2
∞
f
f (x)dx =
b−
1
b−a
a
Si la singularidad es en a, h´gase v =
a
,
1
u
x
b
a
→u
∞
1
b−a
,
du
.
u2
1
y proc´dase por analog´
e
ıa.
x−a
Notas:
(1) Con el teorema anterior es suficiente estudiar la convergencia de las integrales impropias
de primera especie, pero pecaremos estudiandotambi´n la convergencia de las integrales
e
impropias de segunda especie.
(2) Se tiene, seg´n hemos visto, que:
u
∞
b
f (x)dx = lim
a
b→∞
f (x)dx ,
a
as´ la integral de la izquierda converger´ o diverger´ de acuerdo a que el l´
ı
a
a
ımite de la derecha
exista o no: Por analog´
ıa:
b
b
f (x)dx = lim
−∞
a→−∞
f (x)dx ;
a
(3) Para las integrales impropias...
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