Calculo

Ca´lculoparalaingenier´ ıa
Salvador Vera
9 de enero de 2005
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Copyright c
by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.
´ Indice general
1. Conceptos b´asicos 1 1.1. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Orden, desigualdades e intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Valor absoluto y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. El plano y el espacio cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1. Sistema rectangular de coordenadas cartesianas . . . . . . . . 15 1.2.2. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3. El c´ırculo y la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2. Representaci´on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.3. Dominio impl´ıcito de una funcio´n . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3.4. Restricciones y extensiones de funciones . . . . . . . . . . . . 32 1.3.5. Composicio´n de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3.6. Funcionesinyectivas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.3.7. Funciones suprayectivas y biyectivas . . . . . . . . . . . . . . 43 1.3.8. Ima´genes directa e inversa de un conjunto . . . . . . . . . . . 43 1.3.9. Funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.3.10. La funcio´n valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.4. L´ımite de sucesiones . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.4.1. Ca´lculo de l´ımites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.4.2. Sucesiones mon´otonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.5. L´ımite y continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.5.1. Definicio´n de l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.5.2. L´ımites laterales . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.5.3. Propiedades de los l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.5.4. Continuidad de una funcio´n en un punto . . . . . . . . . . . . 66 1.5.5. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . 68 1.5.6. L´ımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.5.7. L´ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 75 1.5.8. T´ecnicas elementales para el c´alculo de l´ımites . . . . . . . . 78 1.5.9. Infinit´esimos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.5.10. Infinit´esimos m´as frecuentes en z → 0 . . . . . . . . . . . . . 83 1.6. Funciones hiperbo´licas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1.6.1. Coseno y seno hiperb´olico . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 85 1.6.2. Fo´rmula fundamental de la Trigonometr´ıa hiperbo´lica . . . . 86 1.6.3. Significado del t´ermino “hiperbo´licas”. . . . . . . . . . . . . . 86
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iv ´INDICE GENERAL
1.6.4. Otras razones hiperbo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1.6.5. Fo´rmulas del ´angulo doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1.6.6. El cuadrado del senh y del cosh . . . . . . .. . . . . . . . . . 88 1.6.7. Gra´fica de las funciones hiperb´olicas . . . . . . . . . . . . . . 88 1.6.8. Funciones hiperbo´licas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 1.6.9. Identidad hiperbo´lica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1.6.10. Fo´rmula logar´ıtmica de las funciones hiperbo´licas inversas . . 90 1.7. Problemas propuestos del Cap´ıtulo 1 . . . . . . . . . . . .. . . . . . 91
2. Funciones de varias variables: L´ımites 93 2.1. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.1.2. Dominio de una funcio´n de varias variables . . . . . . . . . . 97 2.1.3. Operaciones con funciones de varias variables. . . . . . . . . . 102 2.1.4. Composicio´n de...