Calculo

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

El método de Arquímedes: Las definiciones y procedimientos formales surgen de la investigación de problemas prácticos.

Ejemplo: Mapa meteorológico.
El mapa ilustra la temperatura máxima T que depende de longitud y latitud. Las curvas del mapa llamadas isotermas, dividen al país en zonas según T.

Ejemplo: Funciones de distribución de probabilidad.
Un grupode 10 individuos se usa para un estudio biológico. El grupo contiene 3 personas con sangre tipo 0, 4 con tipo A y 3 con tipo B. Se toma una muestra aleatoria de 5 personas.
Sea X= número de personas del tipo 0
Y= número de personas del tipo A
Z= número de personas del tipo B
El número de elementos en el espacio muestral son 10C5=252. Z=5-(X+Y)X
|f(x,y) |0 |1 |2 |3 |
|Y |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|0 | | || |
| |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|1 | | | | |
| |[pic] |[pic] |[pic]|[pic] |
|2 | | | | |
| |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|3 | | || |
| |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|4 | | | | |

XY[pic]

Ejemplo: Transformación
Función que transforma el cuadrado [01]x[0,1] en el paralelogramo formado por los vectores (1,2),(3,1) y (0,0).
Tomando el hecho que las transformaciones lineales llevan paralelogramos en paralelogramos, en se desea encontrar una transformación lineal que cumpla con.
T(1,0) = (3,1) y T(0,1) = (1,2) esto en base a que {(1,0),(0,1)} y {(3,1),(1,2)} sonbases del plano. Entonces a(1,0)+b(0,1)=(1,1) dicha combinación lineal nos lleva a=1, b=1, así
[pic] y [pic]

Ejemplo: Otras funciones.
[pic], [pic],[pic].

Ejemplo. Matriz de producción.
Un fabricante hace 4 tipos diferentes de productos, cada uno requiere 3 tipos de materiales. Se denota a los 4 productos por [pic] y a los materiales por [pic]. La siguiente tabla da el número deunidades de cada materia prima que se requieren para fabricar una unidad de producto

Necesario para producir una unidad
Número de unidades de materia prima [pic]

Si se produce cierto número de los cuatro productos. ¿Cuántas unidades de cada material se necesitan? Sean [pic] el número de artículos fabricados delos 4 productos y sean [pic] el número de unidades necesarias de los tres materiales. Entonces
[pic], [pic], [pic] y la respuesta esta dada por [pic].
La matriz A pude ser vista como la matriz de una transformación lineal [pic].

NOTA HISTORICA.

Mary Fairfax Somerville (1780-1872). Somerville se interesó por el problema de crear modelos geométricos de funciones de varias variables. Su...