Calculo

C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Javier Pérez González
Departamento de Análisis Matemático Universidad de Granada

Asignatura: Cálculo Curso: Primero Titulación: Ingeniero de Telecomunicación septiembre 2006

Índice general

1. Axiomas de los números reales. Desigualdades. Principio de inducción 1.1. Números reales. Propiedades algebraicas y de orden . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Principio de inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Funciones reales. Funciones elementales 2.1. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Números complejos. Exponencial compleja 3.1. Operaciones básicas con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Representación gráfica. Complejoconjugado y módulo . . . . . . . . . . . 3.1.2. Forma polar y argumentos de un número complejo . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Raíces de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Funciones elementales complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.1. La función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Logaritmos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 4 5 8 10 10 14 24 26 26 28 29 32 33 35 35 36

I

Índice general 3.3.3. Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Ejerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Continuidad 4.1.1. Propiedades básicas de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Teorema de Bolzano. Supremo e ínfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Sucesiones 5.1. Sucesiones de números reales . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el cálculo de límites . . . . 5.2. Sucesiones de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Continuidad en intervalos cerrados y acotados. Límite funcional 6.1. Límite funcional . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Discontinuidades. Álgebra de límites. Límites de funciones monótonas . . . . . . 6.4. Continuidad y monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Indeterminaciones en el cálculo de límites . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Derivadas 7.1.1. Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica . . . . . . . . . . 7.1.2. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Teoremas de Rolle y del valor medio . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 7.2.1. Consecuencias del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. Reglas de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. Consejos para calcular límites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2. Consejos...