Calculo

Cálculo diferencialDe Wikipedia, la enciclopedia libre
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El Cálculo Diferencial, es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo infinitesimal. Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en elcálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de Diferencial de una función.

En el estudio del cambio de una función cuando cambian sus variables independientes es de especial interés para el cálculo diferencial el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es queel cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.

Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcióncambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de unafunción, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.

La inversa de una derivada se llama primitiva, antiderivada o integral indefinida.

Contenido [ocultar]
1 Diferenciación y diferenciabilidad
2 Definición de Derivada
2.1 Ejemplo 1
2.2 Ejemplo 2
2.3 Ejemplo 3
3 Notaciones para la diferenciación
4 Aplicaciones importantes del cálculo diferencial
4.1 Recta tangente a unafunción en un punto
4.2 Uso de las derivadas para realizar gráficos de funciones
4.3 Aproximación local de Taylor
4.4 Física
5 Puntos singulares
6 Puntos críticos
7 Teoremas para el cálculo de la derivada
8 Extensión del concepto de derivada
9 Referencias
10 Véase también
11 Enlaces externos


[editar] Diferenciación y diferenciabilidadLa Diferenciación puede ser usada para determinar elcambio que se produce como resultado de otro cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos.

Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo. Si una función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embargo, aunque unafunción sea continua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto C es continua en C, pero no toda función continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).

[editar] Definición de DerivadaLas derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la rectatangente.

Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.

Para obtener estas pendientes, tomemos unnúmero arbitrariamente pequeño que llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos (x,f(x)) y (x + h,f(x + h)) es

Esta expresión es un Cociente Diferencial de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:

Si la...