Calculo

AREAS BAJO CURVA
Definición: Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a, b], el área de la región limitada por la gráfica de f, y el eje x y las rectas verticales X=a y X= b viene dada por:
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Observemos la siguiente Fig. 1:
FIG 1.
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En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y laregión R está limitada (acotada) por las rectas verticales x=a y x=b. Podemos hallar el área de la región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior.

EJEMPLO 1: Hallar el área de la región acotada por la curva f (x)=4 y las rectas x= −3 y x= 2.
SOLUCIÓN:
1. TRAZO DE LA REGIÓN: En primera medida, se debe trazar la región que se pide. Aquí f es positiva y continua.Abajo se muestra la región establecida.
FIG 2.
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Volumen de revolución

Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta que se contenida en su mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con simetría axial o cilíndrica es un sólido de revolución.

Rotación paralela al eje deabscisas (eje x)

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a, b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica:
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En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0,x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:
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Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a, b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje deordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:
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Esta fórmula se simplifica si giramos una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:
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1. Volúmenes de revolución: El Método de los discos
Si giramos una región del planoalrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco de radio R y de anchura es:
Volumen del disco =
Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general,consideremos una función continua f (x ) definida en el intervalo [a,b], cuya gráfica determina con las rectas x = a, x = b, y = 0, el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del eje OX , obtenemos un sólido de revolución.
Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similar al realizado en la definición de integral definida.
Elegimos unapartición regular de [a, b]:
Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:

Siendo:
•
• , la altura (anchura) de los cilindros parciales
• el radio de los cilindros parciales
Si el número decilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez más al volumen del sólido; es decir:
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:
Además, si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:
2. Volúmenes de revolución: El Método de las arandelas
El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos de...