Calculo

Con respecto a las operaciones de suma y resta las series convergentes pueden manejarse como si fueran sumas finitas. Este hecho se establece en el teorema 18.
Teorema 18. Si ∑αi y ∑bi son dos series convergentes tales que ∑ai = A y ∑bi = B, entonces la serie ∑(ai + bi) converge a A + B y la serie ∑(ai + bi) converge a A – B.
Demostración. El lector deberá demostrar que este teorema es unaconsecuencia directa de las definiciones de convergencia de series y sucesiones.
El teorema 18 frecuentemente se expresa diciendo que dos series convergentes pueden sumarse o restarse término a término.
Con respecto a la multiplicación, las series absolutamente convergentes pueden manejarse como si fueran sumas finitas. A este respecto enunciamos el siguiente teorema sin demostración.
Teorema19. Sean
i=1 ∞ai y i=1 ∞bi
Dos series absolutamente convergentes tales que:
i=1 ∞ai=A y i=1 ∞bi=B
c1= a1b1, c2= a1b2 + a2b1…,
cn= a1bn + a2bn-1 + a3bn-2 + … + anb1, … , entonces la serie

i=1 ∞ci
Es absolutamente convergente y
i=1 ∞ci=AB

Series infinitas cuyos términos son correspondientes. En las secciones anteriores de este capítulo estudiamos sucesiones infinitascuyos rangos eran conjuntos de números reales y series infinitas cuyos términos eran números reales. Ahora consideramos sucesiones cuyos rangos son conjuntos de correspondientes y series cuyos términos son correspondientes.
Sea
F= {(n,y) | y = Gn (x), n ∈ I, n ≥ 1 } (24)
Una sucesión cuyo rango es un conjunto de correspondientes y supóngase que cadafunción Gn, en donde n = 1, 2, 3,… , tiene el dominio D. Frecuentemente usaremos la notación
{Gn(x)}
Para representar la sucesión (24), en donde se sobreentiende que x ∈ D. Si c es un numero real en el dominio D, entonces la sucesión
{Gn(c)}
Es decir la sucesión
{(n,y) | y = Gn (c), n ∈ I, n ≥ 1 } (25)
Es una sucesión cuyo rango es un conjunto denúmeros reales. Si la sucesión {Gn(c)} es convergente, decimos que la sucesión (24) es convergente en c. Si la sucesión (24) no es convergente en c, entonces es divergente en c. Si S es un conjunto de números reales tales que la sucesión {Gn(x)} sea convergente en todo elemento de S, entonces decimos que la sucesión (24) es convergente sobre el conjunto S. Por ejemplo la sucesión { xn }, es decir lasucesión
{(n,y) | y =xn, n ∈ I, n ≥ 1 },
Es convergente sobre el intervalo (-1; 1], porque si c ∈ (-1, 1], entonces
limn→+∞Gnc=lim⁡cnn→+∞
Existe.
Sea F una sucesión especificada por (24) para la cual cada una de las funciones G1, G2,…, Gn… tiene el dominio de D; entonces la expresión (26)
i=1∞Gix ó G1x+G2x+…+Gnx+…,
En donde x ∈ D recibe el nombre de serie infinita decorrespondientes o simplemente serie. Los correspondientes G1x, G2x,…,Gnx,… se llama términos de la serie, y la correspondiente Gn(x) se llama enésimo termino o termino general de la serie. Siempre que x se reemplaza por un número del dominio D, de la serie (26) se convierte en una serie cuyos términos son números reales. Si c ∈ D, y si la serie (cuyos términos son números) (27)
∞i=1Gic ó G1c+G2c+…+Gn+…
Es convergente, entonces decimos que la serie
i=1∞Gi(x)
(Cuyos términos son correspondientes) es convergente en c. Si la serie (26) no es convergente en c, se dice que es divergente en c. Si S es un conjunto de números reales con la propiedad de que la serie
i=1∞Gi(x)
Es convergente en todo elemento de S, entonces
i=1∞Gi(x)
Es convergente sobre el conjunto S. El conjunto formadopor los números en los cuales una serie es convergente se llama el conjunto de convergencia de la serie.
Como ejemplo consideremos la serie: (28)
i=1∞1ix ;
Es decir, la serie
11x+12x+13x+…+ 1nx+…

La serie (28) converge hacia 2 ya que la serie
1(1)2+1(2)2+1(3)2+…+ 1n2+…
Es una serie p con p = 2, la cual sabemos que es convergente (ejemple 2 de la Sec. 14.2). Si c ∈...