calculo

Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 1
14 Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales con coefi-
cientes constantes
14.1 Definici´on
Se llama sistema lineal con coeficientes constantes al siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales de primer orden:
8
>>>><
>>>>:
x
0
1 = a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn + b1(t)
x
0
2 = a21x1 + a22x2 + : : : + a2nxn + b2(t)
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
x
0
n = an1x1 + an2x2 + : : : + annxn + bn(t)
donde t es la variable independiente y xi = xi(t), 1 · i · n, son n funciones de t (variables
dependientes).
Se llama soluci´on del sistema a un conjunto de n funciones
xi = 'i(t) ; 1 · i · n
derivables con continuidad y que lo verifican. Resolver un sistema es hallar todas sus
soluciones.
Todo sistema lineal admite unaexpresi´on matricial de la forma
x
0 = Ax + b
donde
A =
0
BBBB@
a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n
a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
an1 an2 ¢ ¢ ¢ ann
1
CCCCA
2 Mn£n(R)
x = x(t) =
0
BBBB@
x1(t)
x2(t)
¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢
xn(t)
1
CCCCA
; x
0 = x
0
(t) =
0
BBBB@
x
0
1
(t)
x
0
2
(t)
¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢
x
0
n
(t)
1
CCCCA
; b = b(t) =
0
BBBB@
b1(t)b2(t)
¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢
bn(t)
1
CCCCA
Si b = b(t) ´ 0, el sistema lineal se llama homog´eneo. En adelante nos referiremos
al sistema lineal completo (no homog´eneo) por (SLC) y al homog´eneo por (SLH).
14.2 Sistemas y Ecuaciones lineales
1. Toda ecuaci´on lineal de coeficientes constantes
a0y
(n) + a1y
(n¡1) + : : : + an¡1y
0 + any = b(t)
donde t es la variable independiente e y la dependiente,se puede transformar en un
sistema lineal de orden n con coeficientes constantes llamando xi = y
(i¡1), 1 · i · n,Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 2
con lo que se llega al sistema
8
>>>>>>><
>>>>>>>:
x
0
1 = x2
x
0
2 = x3
¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢
x
0
n¡1 = xn
x
0
n = ¡
an
a0
x1 ¡
an¡1
a0
x2 ¡ : : : ¡
a1
a0
xn +
b(t)
a0
La soluci´on de x1 en el sistema ser´a lasoluci´on de y en la ecuaci´on diferencial.
2. Todo sistema lineal
x
0 = Ax + b
se puede transformar mediante eliminaci´on (por combinaciones lineales de ecuaciones
y derivadas de ellas) en una ecuaci´on lineal de orden n en alguna de las variables xi
.
Resolviendo esta ecuaci´on y hallando las dem´as variables xj, j 6= i, se tiene resuelto
el sistema. Este m´etodo de eliminaci´on no sepuede sistematizar y puede resultar en
ocasiones muy complicado.
14.3 El espacio de soluciones
1. El conjunto de soluciones del sistema lineal homog´eneo (SLH) es un espacio vectorial
de dimensi´on n.
2. El conjunto de soluciones del sistema lineal completo (SLC) es un espacio af´ın sobre
el espacio vectorial de las soluciones del sistema homog´eneo (SLH) asociado.
14.4 Dependencia eindependencia lineal de funciones
Sean
'1
(t) =
0
BBBB@
'11(t)
'12(t)
¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢
'1n(t)
1
CCCCA
; '2
(t) =
0
BBBB@
'21(t)
'22(t)
¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢
'2n(t)
1
CCCCA
; ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ; 'n
(t) =
0
BBBB@
'n1(t)
'n2(t)
¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢
'nn(t)
1
CCCCA
n funciones vectoriales derivables con continuidad y soluciones de (SLH).
La familia de funciones f'ig
n
i=1 son linealmente dependientessi y s´olo si
D(t) =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
'11 '21 ¢ ¢ ¢ 'n1
'12 '22 ¢ ¢ ¢ 'n2
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
'1n '2n ¢ ¢ ¢ 'nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
´ 0
y ser´an linealmente independientes si y s´olo si
D(t) 6= 0 ; 8t 2 RMiguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 3
14.5 Resoluci´on de sistemas
1. Para resolver (SLH) hay que encontrar nsoluciones particulares f'ig
n
i=1 que sean
linealmente independientes, y entonces
x = '(t) = Xn
i=1
ci'i
(t) ; ci 2 R ; 1 · i · n
es la soluci´on general de (SLH).
2. Para resolver (SLC) hay que hallar una soluci´on particular Ã(t) y todas las soluciones, '(t) = Pn
i=1 ci'i
(t), del sistema homog´eneo asociado, y entonces
x = Ã(t) + '(t) = Ã(t) +Xn
i=1
ci'i
(t) ; ci 2 R ; 1 · i · n
es...