calculo

Si f es una funcion  que asume valores tanto positivos como negativos sobre [a,b], entonces la integral definida :


no representa el area bajo la grafica de f sobre el intervalo.

El valor de:



puede interpretarse como el area neta con signo entre la grafica de f y el eje x sobre el intervalo [a,b].

Suponga que la funcion y = f(x) es continua sobre el intervalo [a,b] y que f (x) /0 sobre [c,b].

El area total es el area de la region acotada por las graficas  de f, el eje x y las rectas verticales x=a y x=b.

Para encontrar el area se emplea el valor absoluto de la funcion y= | f(x) |, que no es negativa para toda en x en [a,b].


Ejemplo:









3.2 Longitud De Curvas
La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es lamedida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del calculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Formula General 
La longitud de una curva plana se puedeaproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos.Cuantos más puntos escojamos en C, mejor seria el valor obtenido como aproximación de lalongitud de C. 
(VER IMAGEN 1.0)
Imagen 1.0

Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.                             
(VER IMAGEN 2.0)
Imagen 2.0
Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)2=(dx)2+(dy)2.
Si f es suave en [a,b], la longitudde la curva de f(x) desde a hasta b es:

Ejemplo 1:Encontrar la longitud del segmento de parábola en el intervalo
s . Resolviendo ahora con


s ( unidades lineales)
Ejemplo 2 : Encontrar la longitud de la curva
Como y no es contínua en el intervalo propuesto, podemos utilizar el hecho de que la longitud de la curva será la misma para ( es prácticamente utilizar la inversa) y ahora conlo cual s que es la calculada en el ejemplo1.
Ejemplo 3: Calcular la longitud de la curva para
Pero no se puede encontrar antiderivada de por lo tanto se puede
aproximar con algún método numérico como Regla de Simpson con , o (ejercicio)
Si llamamos s(x) la función longitud de arco para una arco
s(x) s s


3.3 Calculo de volúmenes de sólidos de revolución
MÉTODO DE LAS REBANADASUn cilindro recto se define como un solido acotado por dos regiones planas congruentes, en planos paralelos y una superficie lateral que es generada por un segmento de recta perpendicular a ambos planos y cuyos extremos constituyen los limites de las regiones planas.

Su volumen V esta dado por la formula:

v= B * h

donde B se denota el area de una base ( el area de las regiones planas) y h denota la altura del cilindro ( la distancia perpendicular entre las regiones planas).

Una rebanada es la iterseccion de solido y un plano.

Ejemplo:










MÉTODO DE LAS ARANDELAS


Una rebanada perpendicular al eje x del solido de revolucion en xk es una circular o anillo anular.Cuando el elemento rectangular del ancho Axk gira alrededor del eje x, genera una arandela.El area del anillo es :

a(xk)= area del circulo - area del orificio



Ejemplo:











METODO DE LOS CASCARONES

Se denotan respectivamente los radios interior y exterior del cascaron, y h es su altura, entonces su volumen  esta dada por la diferencia.

Volumen del cilindro exterior - volumen del cilindro inferior



Ejemplo:

Encuentre el volumen del solido que...