calculo

CÁLCULO I – (0251)
SEGUNDO PARCIAL (20%)
19/11/10
U.C.V.

F.I.U.C.V.

CICLO BÁSICO
DEPARTAMENTO DE
MATEMÁTICA
APLICADA

1. Sean f(x) = 1 (ex + e− x ) y g(x) = 1 (ex − e− x ) .
2
2
a.Pruebe que f(x).f(x) − g(x).g(x) = 1
b. Para cada función justifique si se trata de una función par,
impar o ninguna de las dos
c. Construya la función
f(x)
k(x) =
g(x)
y calcule su funcióninversa.
(1 punto + 2 puntos + 3 puntos = 6 puntos)

2. Encuentre el dominio de la función
 x+3 
 x2 
f(x) = ln  2
+ arccos 
.
x −2

 5x + 6 



(7 puntos)

3. Sean lasfunciones f1(x) = 2 − x − 1 y f2(x) = −1 + 2 cos(πx) .
a. Partiendo de funciones elementales y utilizando traslaciones,
reflexiones, etc., según sea necesario, construya el gráfico de
la función
 f(x) si − 3 ≤ x ≤ 0
f(x) =  1
f2(x) si 0 < x ≤ 2
b. Halle el rango de f(x).
c. Obtenga (f1 o f2 )(x) e indique si la composición es posible.
(4 puntos + 1 punto + 2 puntos = 7 puntos)

CICLOBÁSICO

CÁLCULO I – (0251)
SEGUNDO PARCIAL (20%)
19/11/10
U.C.V.

DEPARTAMENTO DE
MATEMÁTICA
APLICADA

F.I.U.C.V.

PREGUNTA 1.
Sean f(x) =

1
(ex
2

(6 puntos)

+ e− x ) y g(x) =1
(ex
2

− e− x ) .

a. Pruebe que f(x).f(x) − g(x).g(x) = 1 .
SOLUCIÓN.
f(x).f(x) − g(x).g(x) =

1
(ex
4

+ e−x )2 −

1
(ex
4

− e−x )2 =

1
(e2x
4

(1 punto)
+ 2 + e−2x− e2x + 2 − e−2x ) = 1 (4) = 1
4

b. Para cada función justifique si se trata de una función par, impar o ninguna de las dos.
SOLUCIÓN.
(2 puntos)
Para f(x):
El dominio de f(x) es simétrico yaque D(f) = R . f(−x) =

1
(e− x
2

+ ex ) =

1
(ex
2

+ e− x ) = f(x) .

Por lo tanto f(x) es una función par.
Para g(x):
El dominio de g(x) es simétrico ya que D(g) = R . g(−x) =

1(e− x
2

− ex ) = − 1 (ex − e−x ) = −g(x) .
2

Por lo tanto g(x) es una función impar.
c.

Construya la función

k(x) =

f(x)
g(x)

y calcule su función inversa.
SOLUCIÓN.

(3...