CALCULO

2006 → 2009

APUNTES
DE

CÁLCULO I

Pepe Aranda
Departamento de Métodos Matemáticos
Facultad de Físicas. UCM
www.ucm.es/centros/webs/d215

Cálculo I (2006-2007). Grupo C

Índice
1. Naturales, enteros, racionales y reales
1.1 Números naturales, enteros y racionales

1

1.2 El conjunto R

5

2. Funciones, sucesiones, límites y continuidad en R
2.1 Funciones reales devariable real

9

2.2 Sucesiones de números reales

15

2.3 Límites de funciones. Funciones continuas

21

2.4 Teoremas sobre funciones continuas en intervalos

28

3. Derivadas en R
3.1 Definición y cálculo

31

3.2 Teoremas sobre funciones derivables

35

3.3 Polinomios

39

3.4 Ceros de funciones

42

3.5 Representación de funciones

44

3.6 Aplicaciones

484. Series, Taylor y límites indeterminados
4.1 Series de números reales

51

4.2 Sucesiones y series de funciones

58

4.3 Series de potencias

61

4.4 Polinomios y series de Taylor

64

4.5 Cálculo de límites indeterminados

70

5. Integración en R
5.1 Definición y propiedades

77

5.2 Teoremas fundamentales

80

5.3 Cálculo de primitivas

84

5.4 Integralesimpropias

89

5.5 Integración aproximada

93

5.6 Aplicaciones

98

6. Introducción al cálculo en C
6.1 Funciones de variable compleja

101

6.2 Series complejas de potencias

105

Problemas adicionales
Problemas comunes

109
I

Bibliografía:
[Sp] M. Spivak. Calculus. Ed. Reverté
[L] S. Lang. Cálculo. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana
[St] S. Stein. Cálculo y geometríaanalítica. Ed. McGraw-Hill
[LHE] Larson-Hostetler-Edwards. Cálculo y geometría analítica. Ed. McGraw-Hill
[A] T. Apostol. Calculus. Ed. Reverté
[CJ] Courant-John. Introducción al cálculo y al análisis matemático. Ed. Limusa-Wiley
[B] J. Burgos. Cálculo infinitesimal de una variable. Ed. McGraw-Hill
[K] K. Kuratowski. Introducción al cálculo. Ed. Limusa-Wiley
Elaborar unos apuntes de unaasignatura tiene la ventaja para los alumnos de precisar qué es lo que en
concreto se va a explicar durante el curso. Además les permite no estar todo el rato pendientes de copiar
a la mayor velocidad posible (con los errores que ello produce) todo lo que se escribe en la pizarra. Pero
tiene también sus claras desventajas. La existencia de los apuntes suele incitarles a utilizar poco otros
libros,que dan otras visiones de la asignatura y que tratan diferentes temas con más extensión, ejemplos,
aplicaciones o rigor (según los casos) que en dichos apuntes.
Es importante, como se acaba de decir, consultar libros. El problema fundamental de la bibliografía
para un curso de Cálculo de primer curso es que no existe ’el libro adecuado’ a todos los estudiantes, pues
éstos llegan a launiversidad con muy diferente formación matemática. El ideal sería que toda persona
de primero de Físicas pudiera seguir sin excesivo esfuerzo un libro tan bonito como el Spivak. Pero ese
ideal dista mucho de la realidad.
En teoría, en las asignaturas de matemáticas del bachillerato se han tratado (está escrito en los programas oficiales) bastantes temas de los que se va a profundizar en Cálculo I. Porejemplo: números
reales, inecuaciones, sucesiones, rectas, trigonometría, exponenciales y logaritmos, concepto intuitivo de
límites, derivación, gráficas, primitivas sencillas, cálculo de áreas u operaciones elementales con complejos. Según esto, sólo parte de los temas de Cálculo I se verían por primera vez: todo lo relativo a series, la
definición rigurosa de límites, los desarrollos de Taylor,las sucesiones de funciones, el cálculo de primitivas complicadas, las integrales impropias y pocas cosas más (además del cambio que suele representar
la insistencia de los profesores universitarios en ’las demostraciones’).
La experiencia dice que, aunque hay un porcentaje digno de estudiantes que sí controlan buena parte
de los citados temas del bachillerato, hay otra parte (por desgracia no...