Calculo

MAT119 0122 y 0123 JOSÉ HENOSTROZA G. 2010 - 1

Cap 4: Derivada de funciones
•Recta tangente a la gráfica de una función. •Derivada de una función

RECTA TANGENTE A LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓNPBOBLEMA

P
f(x0)

x0 Dada la gráfica de una función y = f(x): se trata de hallar (si existe) la recta tangente a la gráfica de f en su punto P(xo ; f(x0)) Veamos el proceso:

UBICAMOS UNPUNTO Q CERCANO A P

Recta secante que pasa por P y Q

f(x0) f(x0+h)

f(x0)
f(x)

P

• Q

x0 x0

x0+h x
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + h ) − f ( x0 ) = x − x0 h

La recta secante PQ tienependiente: m PQ =

ACERCAMOS EL PUNTO Q AL PUNTO P Es decir:

x →x0

O equivalentemente

h→0

Recta secante que pasa por P y Q

f(x0)

P

Q

•

f(x0+h)

f(x)

x0 x0

x0+h xLa recta secante PQ cambia de posición.:

ACERCAMOS EL PUNTO Q AL PUNTO P Es decir:

x →x0

O equivalentemente

h→0

Recta secante que pasa por P y Q

f(x0+h)

f(x)

P

Q

•f(x0)

x0

x0+h x
La recta secante PQ sigue cambiando de posición y parece aproximarse a una “posición límite”

x0

DICHA RECTA LÍMITE ES LA:

Recta tangente a la gráfica de f en el puntoP(x0;f(x0)

P

f(x0)

x0
Su pendiente es:

lím ⎛ f ( x ) − f ( x0 ⎜ m( x0 ) = x → x0 ⎜ x − x0 ⎝

lím ⎛ f ( x0 + h ) − f ( x0 ) ⎞ )⎞ ⎟= ⎟ ⎟ h → 0⎜ h ⎝ ⎠ ⎠

(si dicho límite existe)DEFINICIÓN DE RECTA TANGENTE A UNA GRÁFICA Dada una función f continua en x = x0, la recta tangente a la gráfica de f en el punto P(x0, ; f(x0)) es la recta que pasa por P y : Caso 1: Tiene pendientelím ⎛ f ( x ) − f ( x0 ⎜ m( x0 ) = x → x0 ⎜ x − x0 ⎝
(si dicho límite existe) Caso 2: Es la recta vertical

lím ⎛ f ( x0 + h ) − f ( x0 ) ⎞ )⎞ ⎟= ⎟ ⎟ h → 0⎜ h ⎝ ⎠ ⎠

x = x0

si:

⎛ f ( x ) −f ( x0 ⎜ + ⎜ x → x0 ⎝ x − x0 lím

lím ⎛ f ( x0 + h ) − f ( x0 ) ⎞ )⎞ ⎟= ⎟ = +∞ ó − ∞ ⎟ h → 0+ ⎜ h ⎝ ⎠ ⎠

y
⎛ f ( x ) − f ( x0 ⎜ + ⎜ x → x0 ⎝ x − x0 lím lím ⎛ f ( x0 + h ) − f ( x0 )⎞ ⎟= ⎟ h →...