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SEMANA 2
CURSO : MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA
Tema

:

Inecuaciones Raciones – Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales

INECUACIONES RACIONALES
Una inecuación racional tiene la forma
a)P (x)
>0
Q (x )

( o bien ≥ 0 )

b)

P (x)
< 0 ( o bien ≤ 0 )
Q (x )

donde P( x), Q( x) son monomios o polinomios diferentes de cero.
Para resolver una inecuación racional debe tenerseen cuenta que las inecuaciones:

P (x)
P (x)
>0 ó
< 0 , son equivalentes a las inecuaciones:
Q (x )
Q (x )
P ( x) . Q ( x) > 0

Ejemplo 1 Resolver

Solución:

ó

P ( x) . Q ( x) < 03x − 6
0
( x − 1) x ( x + 1)
x 2 ( x + 1) + ( x − 1) ( x 2 − 1) − 2 x 2 ( x − 1)

( x − 1) x ( x + 1)

>0

2x2 − x + 1
> 0 (Simplificando)
( x − 1) x ( x + 1)

(2x

2

− x + 1) ( x− 1) x ( x + 1) > 0 x ≠ −1, x ≠ 0, x ≠ 1 ,

( x − 1) x ( x + 1) > 0 ,

( como 2 x 2 − x + 1 > 0 además ∆ < 0 )

Puntos críticos: x = −1, x = 0, x = 1

C.S.= −1, 0 ∪ 1, +∞
Facultad de Ingenieríay Arquitectura

Semestre 2011- II

Ejemplo 7 Resolver

(x − 3)7 ( x − 2) 6 ( x 3 + 1) ≤ 0
2 x 3 − 3x 2 + 1

2 x 3 − 3 x 2 + 1 = ( x − 1) 2 (2 x + 1) ,

Solución: Factorizando tenemos

yx + 1 = ( x + 1)( x − x + 1)
3

(x − 3)7 ( x − 2) 6 ( x 3 + 1) ≤ 0

⇒

( x − 1) 2 (2 x + 1)

2

(x − 3)7 ( x − 2) 6 ( x + 1)( x 2 − x + 1) ≤ 0
( x − 1) 2 (2 x + 1)

y como x 2 − x +1 > 0 ( ∆ < 0 )

(x − 3)7 ( x − 2) 6 ( x + 1) ≤ 0
( x − 1) 2 (2 x + 1)

(x − 3)7 ( x − 2) 6 ( x + 1)( x − 1) 2 (2 x + 1) ≤ 0 ,

1
2
1
Los puntos críticos son: x = 3 , x = 2 , x = 1 , x = −1, x = −
2
Graficando los puntos críticos de la última desigualdad, teniendo cuidado que los puntos
críticos x = 1 x = 2 tienen multiplicidad par.
x ≠ 1, x ≠ −

La solución está dada por la uniónde los intervalos con signo menos, teniendo en cuenta la
restricción hecha. Es decir
 1 
Cs: (− ∞ ,1 ] ∪  − ,1  ∪ (1 , 3 ]
 2 
x3 − x 2 − 8 x + 12
≤0
x 2 + 5 x − 14
2
Solución:...