Calculo

DEFINICION DE LA DERIVADA

Sea una función real definida en un intervalo. Sea
La derivada de f en el punto, denotada, es el
si este límite existe.

Ejemplos:
Utilizando la definición de derivada de una función, determinar la derivada de cada una de las funciones cuyas ecuaciones son:
1.-Se debe calcular el
La expresión indica que la función debe evaluarse en. Así

Luego:Por tanto, si entonces

2.-
En este caso

Luego:



Si entonces

3.-
En este caso
Luego:

Si entonces

DERIVADAS LATERALES.
La existencia del límite es equivalente a que existan los límites a la izquierda y a la derecha de a, y que coincidan. A tales límites se les llaman, respectivamente, derivadas laterales por la izquierda y por la derecha de f en a, y se notan:

Porlo tanto, una función es derivable en a si, y sólo si es derivable por la izquierda y por la derecha en a, y además las dos derivadas laterales tienen el mismo valor: f'(a).

Análogamente:



EJEMPLO 2
Vamos a calcular la derivada, si existe, de la función en x = 1:

Calculamos la derivada por la izquierda:

f(1+h) = (1+h)2 = 1 + 2h + h2
f(1) = 12 = 1
f(1+h) - f(1) = h2 + 2h + 1 - 1= h2 + 2h
[f(1+h) - f(1)]/h = (h2 + 2h)/h = h + 2

Tomando el límite cuando h ->0 obtenemos:
f'-(1) = 2

Ahora calculamos la derivada por la derecha:

f(1+h) = 2·(1+h) - 1 = 2 + 2h - 1 = 2h + 1
f(1) = 12 = 1
f(1+h) - f(1) = 2h + 1 - 1 = 2h
[f(1+h) - f(1)]/h = (2h)/h = 2

Tomando el límite cuando h ->0 obtenemos:
f'+(1) = 2

Por lo tanto, como lo límites laterales existen yson iguales, existe el límite, y es:
f'(1) = 2

DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD

En el capítulo anterior se estudiaron las condiciones para que una función fuera continua en un punto. También se determinó la continuidad en un intervalo, que puede asociarse con la representación gráfica de una curva que no tiene "brincos" o "saltos bruscos".
Vamos ahora a relacionar la continuidad con laderivabilidad de una función en un punto, por medio del siguiente teorema.
Teorema
Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en.
El recíproco de este teorema no es cierto. Es decir, el hecho de que una función sea continua en un punto no implica que sea derivable en él.
Antes de estudiar algunos ejemplos, necesitamos conocer las siguientes definiciones sobre derivadas laterales.Definición 
Si es una función continua definida en, entonces:
La derivada por la derecha, que se denota, se define por la igualdad:
, siempre que el límite exista.
La derivada por la izquierda, denotada, se define por la igualdad: , siempre que el límite exista.
Como consecuencia de la definición de derivada, se tiene que existe si y solo si existen las derivadas laterales y ambas soniguales.
Ejemplo:
existe

Ejemplos:
1. Consideremos la función definida por:


Vamos a determinar si es continua en 1 y si existe.
Para lo primero tenemos que:

existe pues

Como , y
Entonces  

Luego es continua en pues
Para lo segundo determinaremos las derivadas laterales.

Como entonces no existe.
Luego, se ha comprobado que aunque es continua en se tieneque no es derivable en.
La representación gráfica de la función es la siguiente:

Ejemplo # 2
Sea la función con ecuación:
Determinemos si existe y si es continua en
Calculemos las derivadas laterales

Luego por lo que no es derivable en
Probemos ahora si f es continua en

Existe pues;
Y

Entonces es continua pero no es derivable en.

La representación gráfica de lafunción es la siguiente:

Note que la gráfica tiene una tangente vertical en.
El hecho de que no sea derivable en cero, está relacionado con el hecho de que una recta vertical no tiene pendiente.

Ejemplo # 3

Sea la función con ecuación:



Determinemos si esta función es continua y derivable en . Se tiene que existe pues
Como
y

Entonces existe y además, por lo que es una...