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Derivadas
Reglas de derivaci´on
Suma
ddx
[
f
(
x
) +
g
(
x
)] =
f

(
x
) +
g

(
x
)
ddx
[
kf
(
x
)] =
kf

(
x
)
Producto
ddx
[
f
(
x
)
g
(
x
)] =
f

(
x
)
g
(
x
) +
f
(
x
)
g

(
x
)
Cociente
ddx

f
(
x
)
g
(
x
)

=
f

(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g

(
x
)
g
(
x
)
2
ddx
{f
[
g
(
x
)]
}
=
f

[
g
(
x
)]
g

(
x
)
Regla de la cadena
ddx
{
f
(
g
[
h
(
x
)])
}
=
f

(
g
[
h
(
x
)])
g

[
h
(
x
)]
h

(
x
)
ddx
(
x
k
) =
kx
k
−
1
ddx
[
f
(
x
)
k
] =
kf
(
x
)
k
−
1
f

(
x
)
Potencia
ddx
(
√
x
) =
ddx
(
x
1
/
2
) =12
√
xddx
[

f
(
x
)] =
f

(
x
)2
f
(
x
)
ddx

1
x

=
ddx
(
x
−
1
) =
−
1
x
2
ddx

1
f
(
x
)

=
−
f

(
x
)
f
(
x
)
2

2
Reglas de derivaci´on (continuaci´on)
ddx
(sin
x
) = cos
xddx
[sin
f
(
x
)] = cos
f
(
x
)
f

(
x
)
Trigonom´etricas
ddx
(cos
x
) =
−
sin
xddx
[cos
f
(
x
)] =
−
sin
f
(
x
)
f

(
x
)
ddx
(tan
x
) = 1 + tan
2xddx
[tan
f
(
x
)] = [1 + tan
2
f
(
x
)]
f

(
x
)
ddx
(arcsin
x
) =1
√
1
−
x
2
ddx
[arcsin
f
(
x
)] =
f

(
x
)

1
−
f
(
x
)
2
Funciones de arco
ddx
(arccos
x
) =
−
1
√
1
−
x
2
ddx
[arccos
f
(
x
)] =
−
f

(
x
)

1
−
f
(
x
)
2
ddx
(arctan
x
) =11 +
x
2
ddx
[arctan
f
(
x
)] =
f

(
x
)1 +f
(
x
)
2
ddx
(
e
x
) =
e
x
ddx
(
e
f
(
x
)
) =
e
f
(
x
)
f

(
x
)
Exponenciales
ddx
(
a
x
) =
a
x
ln
addx
(
a
f
(
x
)
) =
a
f
(
x
)
ln
af

(
x
)
ddx
(ln
x
) =1
xddx
(ln
f
(
x
)) =
f

(
x
)
f
(
x
)
Logar´ıtmicas
ddx
(lg
a
x
) =1
x
1ln
addx
(lg
a
f
(
x
)) =
f

(
x
)
f
(
x
)1ln
a3
Ejercicios de derivadas
1. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las
x
las l´ıneastangentes a la curva
y
=
x
3
cuando
x
= 1
/
2 y
x
=
−
1, construir la gr´afica y representarlas l´ıneas tangentes.
Soluci´on.- a
) 3/4,
b)
3.2. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las
x
las l´ıneastangentes a la curvay
= 1
/x
cuando
x
= 1
/
2 y
x
= 1, construir la gr´afica y representarlas l´ıneas tangentes.
Soluci´on.- a
) -4,
b)
-1.3. Hallar la derivada de la funci´on
y
=
x
4
+ 3
x
2
−
6.
Soluci´on.-
y

= 4
x
3
+ 6
x
.4. Hallar la derivada de la funci´on
y
= 6
x
3
−
x
2
.
Soluci´on.-
y

= 18
x
2
−
2
x
.5. Hallar la derivada de la funci´on
y
=
x
5
a
+b
−
x
2
a
−
b
.
Soluci´on.-
y

=
5
x
4
a
+
b
−
2
xa
−
b
.6. Hallar la derivada de la funci´on
y
=
x
3
−
x
2
+15
.
Soluci´on.-
y

=
3
x
2
−
2
x
5
.7. Hallar la derivada de la funci´on
y
= 2
ax
3
−
x
2
b
+
c
.
Soluci´on.-
y

= 6
ax
2
−
2
xb
.8. Hallar la derivada de la funci´on
y
= 6
x
72
+ 4
x
52
+ 2
x
.
Soluci´on.-
y
= 21
x
52
+ 10
x
32
+ 2.9. Hallar la derivada de la funci´on
y
=
√
3
x
+
3
√
x
+
1
x
.
Soluci´on.-
y

=
√
32
√
x
+
13
3
√
x
2
−
1
x
2
.10. Hallar la derivada de la funci´on
y
=
(
x
+1)
3
x
32
.
Soluci´on.-
y

=
3(
x
+1)
2
(
x
−
1)2
x
52
.11. Hallar la derivada de la funci´on
y
=
3
√
x
2
−
2
√
x
+ 5.
Soluci´on.-
y
=
231
3
√
x
−
1
√
x
.12. Hallar la derivada de la funci´on
y
=
ax
23
√
x
+
bx
√
x
−
3
√
x
√
x
.
Soluci´on.-
y

=
53
ax
23
−
32
bx
−
52
+
16
x
−
76
.13. Hallar la derivada de la funci´on
y
= (1 + 4
x
3
)(1 + 2
x
2
).
Soluci´on.-
y

= 4
x
(1 + 3
x
+ 10
x
3
).14. Hallar la derivada de la funci´on
y
=
x
(2
x
−
1)(3
x...