calculo

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LAS CÓNICAS

Las cónicas son figuras geométricas planas que derivan de la intersección de un plano con un
cono de dos hojas. Según como el plano corta al cono se originan las distintas cónicas. Por
ejemplo,
Si cortamos el cono con un plano perpendicular a su eje de simetría, la curva resultante es
una CIRCUNFERENCIA, como se muestra en la figura 4.1

Figura 4.1 Sección cónica quegenera la circunferencia
Definición 4.1 La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos (x, y) que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia de un punto cualquiera sobre la circunferencia
al centro, se llama radio

Figura 4.2 Circunferencia
Si la inclinación del plano es igual a la pendiente del “lado del cono”, la curva resultante es
una PARÁBOLA. Ver la figura 4.3

74Figura 4.3 Sección cónica que genera una parábola
Definición 4.2 La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos (x, y) que equidistan de
un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Figura 4.3 Parábola
Si el plano corta al cono con una pendiente mayor que cero y menor que la pendiente del
"lado del cono” se obtiene una ELIPSE. Ver figura 4.5

Figura 4.5Sección cónica que genera una elipse
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Definición 4.3 La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos (x, y) cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Figura 4.6 Elipse
Si el plano es paralelo a cualquier plano que atraviesa el eje de simetría, obtenemos una
HIPERBOLA, que está formada por dos curvas iguales y opuestas. Ver figura 4.7

Figura 4.7 Seccióncónica que genera una hipérbola
Definición 4.4 La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos (x, y) para los cuales
la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos distintos (llamados focos) es constante

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.
Figura 4.8 Hipérbola
Hasta aquí hemos definido las distintas cónicas, tanto desde el punto de vista de su relación
con el cono como de su definición analítica como lugargeométrico.
Ahora a partir de su definición como lugar geométrico, analizaremos cada una de ellas,
determinando la ecuación que la define y sus elementos principales.

4.1

La Circunferencia

Definición 4.5 Sea C (h, k) el centro de una circunferencia de radio r (r > 0). Un punto P
(x, y) está en dicha circunferencia sí y sólo si (x − h)2 + (y − k)2 = r2 . Esta ecuación recibe
el nombre de“ecuación ordinaria de la circunferencia” (entrega información sobre su centro y
sobre su radio).
Si el centro C coincide con el origen de coordenadas (h = 0 = k), entonces se tiene la
ecuación x2 + y 2 = r2 . Esta ecuación, también recibe el nombre de “ecuación canónica de la
circunferencia”.
Ejemplo 4.1 Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 4 y centro el punto C (3, −2)
Solución:Reemplazando en la fórmula se tiene: (x − 3)2 + (y + 2)2 = 16
4.1.1

Ecuación general de la circunferencia

Desarrollando la ecuación ordinaria se tiene:
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
x2 − 2hx + h2 + y 2 − 2ky + k 2 − r2 = 0
Ordenando
x2 + y 2 − 2hx − 2ky + h2 + k 2 − r2 = 0
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Que la podemos escribir como x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0. Esta ecuación se llama ecuación
general de lacircunferencia y comparando ambas ecuaciones podemos deducir que
D = −2h, E = −2k, F = h2 + k 2 − r2
Por lo tanto, se tiene que
h=−

D
E
, k=− , r=
2
2

D2 + E 2 − 4F
4

Es decir, conociendo su ecuación general, también podemos conocer el centro y radio de la
circunferencia.
Observación 4.1 Estas fórmulas (para el centro y radio de la circunferencia) son válidas sólo
si la ecuación está dadacomo x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0, es decir el coeficiente de cada
términos al cuadrado debe ser igual a uno. De no ser así, la ecuación debe dividirse por el
coeficiente de los términos al cuadrado, antes de ocupar las fórmulas.
No está demás agregar que como r debe ser positivo, D2 + E 2 − 4F > 0
Si D2 + E 2 − 4F = 0 el radio sería cero y se tiene sólo un punto (h, k)
Si D2 + E 2 − 4F < 0...