calculo

Universidad de la Rep´ blica
u
Facultad de Ciencias
CMAT
Introducci´n a la Geometr´ Diferencial
o
ıa
2007

Pr´ctico 7
a
TEOREMA DE POINCARE HOPF
El objetivo de este pr´ctico es demostrarel teorema de Poincare Hopf. Hay ejercicios que son prescina
dibles para ese fin, la prueba queda completa haciendo los ejercicios 1., 7., 9., 10., 11., 12. (La prueba que
se sigue, se encuentra enel libro Topology from a Differentiable Viewpoint de J.Milnor). Los ejercicios
marcados con (*) se podr´n preguntar en el ex´men oral.
a
a
1.

Sea X : M → T M un campo diferenciable en M variedadde dimensi´n n. Una singularidad p
o
(i.e. X(p) = 0) se dice aislada si ∃V entorno de p donde p es la unica singularidad. Dada una
´
carta ϕ : U → I n con U entorno de p y tal que ϕ(p) = 0,definimos Y : ϕ(U ) → I n como
R
R
Y (ϕ(q)) = dϕq X(q). Definimos el ´
ındice de X en p como
Ip (X) = deg(f )

f : ∂B(0, ε) → S n−1 f (x) =

Y (x)
Y (x)

Con ε > 0 de forma tal que B(0, ε) ⊂ ϕ(U ).Probar que Ip (X) est´ bien definido (Observaci´n: Hay
a
o
que probar que no depende de ϕ ni de ε.).
2.

(*) Calcular el ´
ındice de los siguientes campos en el origen. Dibujar las curvasintegrales.
a) X(x, y) = (−y, x)
b) X(x, y) = (ax, by), con a, b = 0
c) X(z) = z k , con k ≥ 0
d) X(z) = z k , con k ≥ 0
¯

Ahora estamos en condiciones de enunciar el Teorema de Poincare Hopf:Teorema 1 Sea X : M → T M un campo cuyas singularidades son todas aisladas, entonces, existe un
n´mero χ(M ) que no depende de X tal que
u
χ(M ) =

Ip (X)
X(p)=0

El n´mero χ(M ) se llamacaracter´
u
ıstica de Euler de la variedad M .
3. Calcular χ(S n ) y χ(T n ). (T n = (S 1 )n es el toro de dimensi´n n)
o
4. Probar que la caracter´
ıstica de Euler de la superficie orientable de g´nero ges χ(Sg ) = 2 − 2g.
e
5. (*) Probar que si M es una variedad compacta, orientada, de dimensi´n impar, entonces χ(M ) = 0.
o
6. Probar que si M y N son variedades compactas y orientadas,...