calculo

Páginas: 93 (23230 palabras) Publicado: 26 de agosto de 2013
Cap´tulo
ı

7

Sucesiones

7.1. Introducción
Las sucesiones aparecen de manera natural en muchos cálculos que responden a un es2
6
2 1
quema iterativo. Por ejemplo, al dividir 2 entre 3 obtenemos D
C
, igualdad que
3
10
3 10
podemos usar ahora para obtener


2 1
6
2 1
6
6
6
1
2
;
D
C
C
D
C 2C
3
10
10
3 10 10
10
3 102
10
y de nuevo
2
6
6
D
C 2C
310
10



6
2 1
C
10
3 10



6
6
2 1
6
1
D
:
C 2C 3C
2
10
3 103
10
10
10

Y así podemos continuar tantas veces como queramos, obteniendo para cada n 2 N la igualdad:
n

2 X 6
2 1
D
:
C
3
3 10n
10k
kD1

n
X 6
2 1
2
xn D
. Observa que, aunque los nútenemos que 0 <
k
3
3 10n
10
kD1
meros xn son todos ellos distintos de 2=3, dada una cota de errorarbitrariamente pequeña,
2 1
" > 0, y tomando n0 2 N de manera que
< " , deducimos que para todo número
3 10n0
natural n>n0 se verifica que jxn 2=3j < " , lo que se expresa escribiendo 2=3 D lKm fxn g.
ı

Escribiendo xn D

n!1

325

Introducción

326

El ejemplo anterior está relacionado con la expresión decimal de 2=3 que, como todos
sabemos, es un decimal periódico con períodoigual a 6, lo que suele escribirse 2=3 D 0; b
6
igualdad en la que, según se dice a veces, el símbolo 0; b debe interpretarse como que el 6
6
se repite infinitas veces. ¿Qué quiere decir esto? Lo que está claro es que, por mucho tiempo
y paciencia que tengamos, nunca podremos escribir infinitos 6 uno detrás de otro... bueno,
podríamos escribir algo como
2
D 0; b D 0; 6666666:::. infinitos 6/6
3

lo que tampoco sirve de mucho pues seguimos sin saber cómo se interpreta esta igualdad. Pues
bien, para dar un significado matemático a lo que se quiere expresar con esa igualdad hay que
recurrir al concepto de límite de una sucesión tal como hemos hecho antes.
Veamos otro ejemplo en esta misma línea. Vamos a intentar calcular aproximaciones raciop
p
10 p
nales de 10. Si partimosinicialmente de un número x > 10, tendremos que
< 10 < x.
x


p
10
1
xC
. Entonces, en virtud de la desigualdad de las medias, 10 < y,
Pongamos y D
2
x
p
y como también y < x , deducimos que y está más cerca de 10 que x. Podemos ahora
p
repetir este proceso sustituyendo x por y obteniendo una nueva aproximación mejor de 10.
Nótese que si x es racional también lo será y. Esto sugiereque, partiendo de un valor inicial,




1
10
10
1
por ejemplo x1 D 4, calculemos x2 D
x1 C
x2 C
, y después x3 D
, y así
2
x1
2
x2
podemos continuar tantas veces como queramos, obteniendo para cada n 2 N un número xn
tal que


10
1
xn C
xnC1 D
2
xn
con x1 D 4. Con una calculadora manual obtenemos enseguida los valores x2 D3; 25;
x3 D3; 1634615 I x4 D3; 1622779con seis cifras decimales exactas:
p
x 2 10
x 2 10
0; 000005
1
<
< 6
10 D 4 p < 4
6
6
10
x4 C 10
p
p
es decir, x4 coincide con 10 hasta la sexta cifra decimal. De hecho, como xn > 10 tenemos
que:


p
p
p
p
10
1p
1
1
1
0 < xnC1
xn C
10 D
10 < xn C
10
10 D .xn
10/
2
xn
2
2
2
0 < x4

p
p
1
1
10 < n .x1
10/ < n , por tanto, dado cualquier
2
2
" > 0, ytomando n0 2 N tal que 2 n0 < ", deducimos que para todo número natural n>n0 se
p
p
verifica que jxn
10 j < ", lo que simbólicamente se expresa escribiendo 10 D lKm fxn g.
ı
de donde se sigue que 0 < xnC1

n!1

En los ejemplos anteriores hemos dado por supuesto que ya tienes cierta familiaridad con
los conceptos de “sucesión” y de “límite de una sucesión” de los cuales vamos a ocuparnosa
continuación con detalle.

Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático

Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral

Sucesiones de números reales

327

7.2. Sucesiones de números reales
7.1 Definición. Sea A un conjunto no vacío. Una sucesión de elementos de A es una aplicación
del conjunto N de los números naturales en A. En particular, una sucesión de números...
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