calculo

4. SERIES
4.1 DEFINICION DE SERIE
Una serie es una sucesión de un conjunto de términos formados según una ley determina. Por ejemplo, 1, 4, 9, 16, 25
Es la suma indicada de los términos de una sucesión. Así de las sucesiones anteriores obtenemos la serie: 1+4+9+16+25
Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando el número de términos esilimitado, la sucesión o serie se llama sucesión infinita.
El término general o término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos.

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an donde n es el índice final de la serie.   En terminología matemática se incluye sucesión para designar la existencia de elementosencadenados o sucesivos. Se excluye totalmente la sinonimia con el término serie. 
Para entrar en materia la persona interesada en el tema debe de conocer el concepto de sucesión que se muestra a continuación:
El concepto de sucesión en los números reales se entiende de manera intuitiva cuando se asocia a un número natural un número real.
Termino de una sucesión: S: N R
Normalmente lassucesiones son infinitas, y por lo general solo se enlistan los primeros 5 o 10 elementos, lo interesante de las sucesiones es que el estudiante observe los cambios significativos de un elemento a otro para encontrar un patrón que me sugiera encontrar la expresión matemática que los genera,  para ello el alumno debe tener la habilidad de procedimientos algebraicos y de inducción matemática. Entextos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesiones de diversas entidades matemáticas.

4.1.1 FINITA
Las series tienen una características fundamental con respecto a su límite y esta es un parte aguas para generalizar o discriminar los tipos de series a grandes rasgos, series finitas o series infinitas,en esta parte en cuestión las series finitas son objeto de análisis.

Observando la serie que se encuentra en la parte superior y mediante un análisis de sus componentes encontramos el límite superior determinado por “N”, esto significa que la serie esta superiormente acotada a cualquier numero natural, y por consecuente se puede deducir que es una serie finita puesto a que tiene un numerofinito de elementos acotados por "N".













4.1.2 INFINITA
Una parte importante del estudio del Cálculo trata sobre la representación de funciones como “sumas finitas”. Realizar esto requiere extender la operación familiar de adición de un conjunto finito de números a la adición de una infinidad de números. Para llevar a cabo esto, se estudiara un proceso de límite en el que seconsideran sucesiones.
Suponga que asociada a la sucesión
U1, U2, U3,…, Un,…
Se tiene una “suma infinita” denotada por
U1+ U2 + U3 +…+ Un+…
Pero ¿Qué es lo que significa esta expresión? Esto  es, ¿Qué debe entenderse por la “suma” de un número infinito de términos, y en qué circunstancias dicha suma existe?
Teorema
Para tener una idea intuitiva del concepto de tal suma, suponga que un trozode cuerda de 2 pie de longitud se corta a la mitad. Una de estas mitades de 1 pie de longitud se aparta y el otro y el otro se corta a la mitad otra vez. Uno de los trozos resultantes de ½ pie de longitud se aparta y el otro se corta a la mitad obteniéndose dos trozos, cada uno de 1/8 pie de longitud, otra vez, uno de los trozos se aparta y el otro se corta a la mitad. Si se continúa esteprocedimiento en forma indefinida, el número de pies de la suma de las longitudes de los trozos apartados puede considerarse como la suma infinita
1+ ½ + ¼ + 1/8+ 1/16 +…+ (1)/ (2˄(N-1))
Como se inició con un trozo de cuerda de 2 pie de longitud, nuestra intuición nos indica que la suma infinita (1) debe ser 2. Definiciones preliminares.
A partir de la sucesión:
U1, U1, U3,…, Un,…
Se forma una...