Calculo

Ingeniería industrial
Ingeniería industrial
Instituto tecnológico de
Ciudad Guzmán.

Investigación de los temas de la Unidad.

Índice.
5.1-Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas octogonales………………………………………….

5.2- Teorema de Rolle, teorema de LaGrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial…………………………

5.3-Funcion creciente y decreciente. Máximos yMínimos de una función. Criterio de la primera derivada para Máximos y Mínimos. Concavidades y puntos de inflexión. Criterio de la segunda derivada para Máximos y Mínimos. …………….

5.4-Analicis de variación de funciones………………………..

5.5- Cálculo de aproximaciones usando la diferencial…….

5.6-Problemas de optimización y tasas relacionadas………

Competencia específica a desarrollar.
Aplicarel concepto de la derivada para la solución de problemas de optimización y de variación de funciones y el de diferencial en problemas que requieren de aproximaciones.

Introducción:

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Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas octogonales.
Recta tangente

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Teorema deRolle, teorema de LaGrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial.
Teorema de rolle.
Establece condiciones suficientes para garantizar la existencia de la existencia de un valor extremo en el interior de un intervalo cerrado.
Sea ƒ continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si
ƒ(a)=ƒ(b)existe al menos el numero c en (a,b) tal que ƒ΄(c)=0
El teorema de rolle garantiza la existencia de al menos un punto entre a y b donde la derivada es cero. A hora bien, puede suceder que haya más de un punto que cumpla más de esa condición.

Teorema de valor medio.
Si ƒ es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), existe un numero c en (a, b) tal queAunque el teorema de valor medio se puede utilizar correctamente para resolver problemas, es más eficaz como instrumento en la demostración de otros teoremas.
El teorema del valor medio tiene amplificaciones a las diversas interpretaciones de la derivada. Geométricamente, garantiza la existencia de una recta tangente paralela a lasecante que los puntos (a. ƒ(a)) y (b. ƒ(b)).

Libro 8 pág. (187-189)

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Función creciente y decreciente. Máximos y Mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para Máximos y Mínimos. Concavidades y puntos de inflexión. Criterio de la segunda derivada para Máximos y Mínimos.
Función creciente y decreciente.
Una funciónes f creciente en un intervalo si para cualquier par de números X1, X2 del intervalo, X1<X2 implica ƒ (X1) < ƒ(X2).
Una función ƒ es decreciente en un intervalo si para cualquier par de números X1, X2 implica del intervalo, X1<X2 implica ƒ (X1) > ƒ(X2).

Máximos y mínimos.
Sea ƒ una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto(a, b).1.-Si ƒ΄>0 para todo x en (a, b), ƒ es creciente en [a, b].

2.- Si ƒ΄<0 para todo x en (a, b), ƒ es decreciente en [a, b].

3.- Si ƒ΄=0 para todo x en (a, b), ƒ es constante en [a, b].


Criterio de la primera derivada para Máximos y Mínimos.
Sea c un número crítico de una función ƒ continua en un intervalo abierto que contiene a c. Si ƒ es una variable en ese intervalo abierto enc, entonces ƒ (c) puede clasificarse así:
1.-Si ƒ΄(x) cambia en c de negativa a positiva, ƒ(c) es un mínimo relativo de ƒ.
2.-Si ƒ΄(x) cambia en c de positiva a negativa, ƒ(c) es un máximo relativo de ƒ.

Concavidades y puntos de inflexión.
Concavidad: sea ƒ derivable en un intervalo abierto l. la gráfica de ƒ es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo en 1 si ƒ΄ es decreciente...