Calculo

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CAPITULO 2
Derivada de una funci¶on
Licda. Elsie Hern¶andez Sabor¶³o
Instituto Tecnol¶ogico de Costa Rica
Escuela de Matem¶atica
¢ ¢ ¢
Revista digital Matem¶atica, educaci¶on e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)
2
Cr¶editos
Primera edici¶on impresa: Rosario ¶Alvarez, 1984.
Edici¶on LaTeX: Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac¶on, Marianela Abarca, Lisseth Angulo
y WalterMora.
Edici¶on y composici¶on ¯nal: Evelyn AgÄuero.
Gr¶a¯cos: Walter Mora, Marieth Villalobos, Evelyn AgÄuero.
Comentarios y correcciones: escribir a wmora2@yahoo.com.mx
Contents
2.1 Derivada de una funci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Introducci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 La derivada de una funci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Notaciones para la derivada de una funci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4 Continuidad y derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.5 Teoremas sobre derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 19
2.1.6 Derivada de una funci¶on compuesta (Regla de la cadena) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.7 Diferenciales. Interpretaci¶on geom¶etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.8 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.9 Derivada de la funci¶on logar¶³tmica . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.10 Derivada de la funci¶on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.11 Derivadas de la funciones trigonom¶etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.12 Derivadas de las funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.13 Las funcionestrigonom¶etricas inversas y sus derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.14 Funciones param¶etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1.15 Funciones impl¶³citas y su derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1.16 Teorema de Rolle (o teorema sobre las ra¶³ces de la derivada) . . . . . . . . . . . . . . . .67
2.1.17 Teorema del valor medio para derivadas (Teorema de Lagrange) . . . . . . . . . . . . . . 70
2.1.18 Teorema de Gauchy del valor medio (o extensi¶on del teorema del valor medio para derivadas) 72
2.1.19 Regla de L'H^opital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
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4 Cap¶³tulo 2: Derivadas
2.1 Derivada de una funci¶on
2.1.1 Introducci¶on
Elproblema de la tangente
\Muchos de los problemas importantes del an¶alisis matem¶atico pueden transferirse o hacerse depender de un
problema b¶asico que ha sido de inter¶es para los matem¶aticos desde los griegos (alrededor de 300¡200a:deJ:C).
Es ¶este el problema de trazar una recta tangente a una curva dada en un punto espec¶³¯co a ella.
Este problema fue resuelto por m¶etodos especiales enun gran n¶umero de ejemplos aislados a¶un en la tem-
prana historia de las matem¶aticas. Por ejemplo, es bastante f¶acil resolver el problema si la curva es un c¶³rculo,
y todo estudiante ha visto esta soluci¶on en su geometr¶³a de secundaria. Sin embargo, no fue si no hasta el
tiempo de Isacc Newton (1642¡1727) y de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646¡1716) que se dio un m¶etodo gen-
eralsistem¶atico para obtener la soluci¶on. En este sentido se acredita a estos dos hombres la invenci¶on del c¶alculo.
Aunque el problema de la tangente pueda parecer de poco inter¶es a los no matem¶aticos, el hecho es que las
t¶enicas desarrolladas para resolver el problema son la mera columna vertebral de gran parte de la ciencia y la
tecnolog¶³a actuales. Por ejemplo, la direcci¶on del movimiento de...