Calculo

1 UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIER´ IA ´ CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BASICAS PARA INGENIER´ IA.

BAIN037 C´lculo 1 - junio 2011 a ´ I. Area entre curvas . Sea f :[a, b] → R continua, definimos el
area A, de la regi´n acotada por y = f (x), y = 0, x = a y x = b, como ´ o
b

A=
a

|f (x)|dx.

Sean f, g : [a, b] → R continuas, definimos el ´rea A, de laregi´n acotada a o por y = f (x), y = g(x), x = a y x = b, como
b

A=
a

|f (x) − g(x)|dx.

Observaciones 1. Si 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] entonces A = 2. Si f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [a, b] entoncesA = −
b a b a

(f (x) − g(x)) dx.

f (x)dx.

3. Es an´logo integrar respecto a la variable y, considerando la regi´n a o acotada por x = f (y), x = g(y), y = c, y = d, siendo el area, A = ´ d|f (y) − g(y)|dy. c (si es necesario y/o conveniente) Si u y v continuas en [t1 , t2 ], tales que x = u(t) y = v(t), t ∈ [t1 , t2 ] definimos el ´rea A, de la regi´n acotada por y = 0, x = u(t1 ), x =u(t2 ), a o como t
2

A=
t1

|u(t)v (t)|dt.

2

Ejercicios. Hallar el area de la regi´n acotada por ´ o
1. y = 2. y = √ √ x, y = x2 si x ∈ [0, 1] x, y = x2 si x ∈ [ 1 , 2] 2

3. y = a cosx, y = sin x si x ∈ [0, π] 4. y = x, y = − 1 (x − 3), y = 0 3 5. x = 3 + cos θ, y = 4 sin θ si θ ∈ [0, π]

II. Longitud de arco de curvas . Sea f : [a, b] → R continua,
definimos la longitud dearco L de f en [a, b], como
b

L=
a

1 + (f (x))2 dx.

Observaciones 1. Igual que en el caso de ´rea se puede integrar respecto a la variable y a cuando sea conveniente y/o necesario. 2. En elcaso de una curva param´trica, si u y v tienen derivadas continuas e con u (t) = 0, entonces
t2

L=
t1

(u (t))2 + (v (t))2 dt.

Ejercicios.
1. Hallar la longitud de arco de x = a(t − sin t), y= a(t − cos t) (Curva llamada Cicloide) 2. Hallar la longitud de arco de y = ln(1 − x2 ), x = 0, x = 1 2 3. Calcular perimetro de la figura acotada por la curva y = a la curva x = 1, y = 0. √ x,...