Calculo

Límites



Un límite es hasta donde podemos llegar, son los valores cercanos a aquel valor en el cual la función se indetermina, es decir, en donde el valor de la función sería [pic] . A éste valor se le conoce como c.
[pic]

Límites directos
Por ejemplo, para encontrar el límite de 2x – 8 cuando x tiende a 3:[pic]
Se sustituye el valor al que tiende x en la función: [pic]= – 2
Elresultado es igual al valor del límite.[pic]

Cálculo de Límites mediante factorización
Sin embargo, cuando al sustituir el valor del número al que tiende x el resultado del límite es igual a [pic], la función se tiene que factorizar, para así poder encontrar el valor del límite, como es en el caso de la siguiente función:
[pic]

[pic] = [pic]

Como el resultado es una indeterminación, sefactoriza la función original:
[pic]

[pic]

(3+1) = 4


Cálculo de Límites mediante tablas
Otra manera de encontrar el límite de una función es por medio de una tabla. Esto se aplica cuando al sustituir el valor al que tiende x en la función ésta se indetermina, y además no hay manera de factorizar la función, como es el caso siguiente:

[pic]

Por ello se construye una tabla convalores en t cercanos a 0, los cuales se sustituyen en la función, y se deduce cuál sería el valor que tomaría el límite.

|t |[pic] |
|.3 |0.058 |
|.1 |0.1745 |
|.001 |17.45 |
|0 |- - - -> 18 |
|-.001 |17.45 |
|-1 |0.1745 |
|-3 |0.058 |Comprobando la existencia de límites

Como regla general, se sabe que un límite existe si cumple con la siguiente regla:



En ella, el valor de (x – c) debe de ser igual al valor de (f(x) – L)
Por ejemplo, comprobar que el límite de la función (3x – 7) es igual a 5 cuando x tiende a 4










[pic].
Como el valor que corresponde a (x – c) es igual al de (f(x) – L), se compruebaque el límite existe.


Comprobando que el límite de la función [pic] es 2 cuando x tiende a 2, se tiene que:

Primero se tiene la función [pic]= 2
Para que realizar la comprobación de la existencia del límite sea más fácil, elevamos la función y el resultado al cuadrado, y se tiene que:
2x = 4






El límite existe, y [pic]


También puede darse el caso de que el límite noexista, por ejemplo, comprobar que el límite cuando x tiende a 3 de la función (x2 – 2x) es igual a 3





En éste caso, el límite no existe ya que el valor que corresponde a (x – c) es diferente al de (f(x) – L). En casos como éstos, se puede observar que dichos valores serían iguales si se pasara el término (x + 1) dividiendo a [pic], sin embargo, no puede haber variables dividiendo a[pic], sólo números.

Teoremas de Límites:
Teorema principal de límites: Sean n un número entero positivo, k una constante y f y g funciones con límites en c:

[pic]

Teorema de sustitución: Si f es una función polinomial o una función racional, entonces:
[pic]
Siempre que el denominador para c no sea cero en caso de una función racional.

Por ejemplo, en los siguientes ejercicios secalcularán los límites de las diferentes funciones, aplicando tanto el teorema principal de límites como el teorema de sustitución:



[pic] [pic] [pic]

[pic] [pic] [pic]

[pic] [pic] [pic]

162 [pic] [pic]

[pic] [pic]

32 [pic]

7/5



Límites Trigonométricos:

[pic]



Ejemplo:

[pic][pic]





Continuidad


Una función escontinua cuando, al graficarla, ésta no se corta en ninguno de sus puntos. También se dice que es continua si no se da el caso de que con algún valor se indetermine.

[pic][pic]
Continua Discontinua

También tiene que cumplir con las siguientes reglas:
➢ [pic] existe
➢ [pic] existe
➢ [pic]

Derivación


Una derivada es la relación de cambio;...