Calculo

Moisés Villena Muñoz

Coordenadas Polares

1. 2. 3.

EL SISTEMA POLAR ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES: RECTAS,

CIRCUNFERENCIAS, PARÁBOLAS, ELIPSES, HIPÉRBOLAS, LIMACONS, ROSAS, LEMNISCATAS, ESPIRALES.

Objetivos: • Graficar Rectas, circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas, limacons, rosas, lemniscatas, espirales en coordenadaspolares

1

Moisés Villena Muñoz

Coordenadas Polares

1 EL SISTEMA POLAR
El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este punto esté definido por un vector de magnitud r que parte desde el origen y que tiene ángulo de giro

θ , tendríamos otra forma de definir un punto.

Sería suficiente,para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor de r y el valor de θ . Esto se lo va a hacer indicando el par ordenado en este caso se dice que son las coordenadas polares del punto. Se deducen las siguientes transformaciones:
⎧ 2 2 ⎪r = x + y De rectangulares a polares: ⎨ ⎪θ = arctg y x ⎩

(r ,θ ) ,

⎧ x = r cos θ De polares a rectangulares: ⎨ ⎩ y = r sen θ

Una utilidad de loanterior la observamos ahora.

Ejemplo
Encuentre las coordenadas polares del punto P(1,1) SOLUCIÓN: Representando el punto en el plano cartesiano, tenemos:

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Coordenadas Polares

Utilizando las transformaciones ⎨

⎧r = 1 2 + 1 2 = 2 ⎪ π ⎪θ = arctg 1 = 1 4 ⎩

Además se podría utilizar otras equivalencias polares:

( 2 , π ) = ( 2 ,−7 π ) = ( − 2 ,5 π ) = (− 2,−3 π ) (Analícelas) 4 4 4 4

Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares, no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares; se lo puede hacer directamente. Este trabajo puede ser muy sencillo si se dispone de un plano que tenga como referencia ángulos y magnitudes. Un plano con estas características se lo llama Sistema Polar o Plano Polar. Consiste decircunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación.

π Al eje horizontal se lo llama “Eje Polar”, al eje vertical se lo llama “Eje 2 ”. El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama “Polo”.

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π
Eje

Coordenadas Polares
105

75
60 45

120

2

135

150

30

165

15

180
Polo

EjePolar

195

345
210

330

225

315
240 255 270
285

300

Ejercicios propuestos 1
1. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. Exprese dichos puntos con r > 0 y con r < 0 . π a. (1, ) b. (3,0) 2 2π d. (−1, π) c. (4,− ) 3 3π e. (−2, ) 2 Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. Luego encuentre lascoordenadas cartesianas de dichos puntos. π a. ( 2 , ) e. (4,3π) 4 π 2π f. (2, ) b. (−1, ) 3 3 7π 5π g. (−2,− ) c. (4,− ) 6 3 5π 3 3π h. (−4, ) d. ( , ) 2 2 4 Encuentre las coordenadas polares de los siguientes puntos. a. (−1,1) b. (2 3 ,−2) c. (−1,− 3 ) 4. d. (3,4)

2.

3.

(INVESTIGACIÓN) Encuentre la distancia entre los puntos dados en coordenadas polares. Verifique su respuesta hallando ladistancia, utilizando coordenadas cartesianas. π 3π π π π b. ( 2 , ) − (1,4π) c. (1, ) − (1, ) a. (1, ) − (3, ) . 6 4 3 6 4

4

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Coordenadas Polares

2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES
Una ecuación en coordenadas polares la presentaremos de la forma r = f (θ) . Por tanto para obtener la gráfica, en primera instancia, podemos obtener una tabla de valores para ciertospuntos y representarlos en el sistema polar; luego sería cuestión de trazar la gráfica siguiendo estos puntos. Ejercicio Propuesto 2
1. Encuentre la ecuación cartesiana de la curva descrita por la ecuación polar dada. a. r sen(θ) = 2 b. r = 2 sen(θ) 1 c. r = d. r 2 = sen(2θ) 1 − cos(θ) e. r 2 = θ 2. f. r =
3 2 − 4 cos(θ)

Encuentre la ecuación polar de la curva descrita por la ecuación...