Calculo

Colegio de Bachilleres de Tabasco
Plantel No. 5

Apuntes de

CÁLCULO INTEGRAL

Para el período escolar 2012 A

Prof. Josué Hernández Zamora

Bloque I. La Diferencial
Objetivo Temático: El alumno aplicará el concepto de diferencial y sus definiciones básicas en la resolución de problemas de aproximación del incremento y de errores pequeños, utilizando las reglas de la diferenciación.Definiciones de y
Un concepto importante en el cálculo integral es la diferencial de una función, veamos de qué se trata. Se llama diferencial de una función al producto de la derivada por el incremento de la variable independiente.
Ejemplos:
1. Calcula la diferencial de la función
Solución:
Función Derivada Diferencialdy=2xdx
2. Calcular la diferencial de la función
Solución:
Función Derivada Diferencial de
3. Calcula la diferencial de la función para x = 2 y
Solución:
Función Derivada Diferencial de
Ahora sustituyendo x = 2 y obtenemos:
[Diferencial de ] = 15(2)2(0.1) = 6
Como verássi seguimos utilizando esta notación será muy difícil aprender un poco de diferenciales, entonces digamos que la diferencial se representa mediante la letra d, colocada delante de la función. Entonces si la función es y=3x2, la diferencial se expresa como:

Algo que debemos tomar en cuenta es que si y = x entonces la diferencial sería:

En este caso particular la diferencial de la variableindependiente es igual a su incremento.
Tomando en consideración esto podemos definir la diferencial como:
La multiplicación de la derivada de la función por la diferencial de la variable independiente.
Ejemplos:
Calcula la diferencial de las siguientes funciones:
1.
Solución:
dydx=2x De donde la diferencial de la función anterior es:
2.
Solución:
La diferencial de la funciónanterior es:
Ejercicios Tipo:
Halla la diferencial de las funciones siguientes:
1.
2.
3.
4.
5.
6. y=1+x31-x2
7. y=e2x
8. y=5-x35+x2
Interpretación gráfica de dy.
Iniciamos el tema de la derivada con el problema de encontrar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función . Como se muestra en la figura, el punto de partida pararesolver este problema fue la consideración de:

Para valores pequeños de o bien . Pero sabiendo que puede escribirse , o bien .
Al incremento se le llama diferencial de la variable independiente x y se nombra por dx; esto es,
A la función se le llama la diferencial de la variable dependiente y se nombra por dy; esto es,
Puesto que la pendiente de una tangente a la gráfica es:Resulta que el ascenso de la recta tangente se puede interpretar como dy. Puede verse en la siguiente gráfica que cuando es muy pequeño ,

Ejemplo: Obtener y dy para
Solución. Como , entonces
Sustituyendo

Por definición tenemos que , entonces
Como , de donde
Si comparamos y dy

Vemos que difieren en la cantidad
Reglas de Diferenciación.
Las reglas de diferenciación se puedenexpresar en términos de diferenciales; por ejemplo, si , y entonces
Por tanto,
Resumiendo las equivalentes de las reglas de la suma, del producto y del cociente:

La Diferencial como aproximación del incremento.
Cuando , las diferenciales proporcionan una manera de “predecir” el valor de conociendo el valor de la función y su derivada en x. Como puede verse en la figura, si x varía en unacantidad entonces la variación correspondiente de la función es y de esta manera, y despejando fx+∆x, tenemos que

Pero para una variación pequeña de x, puede escribirse .
Cómo
Podemos escribir, (1)
Ejemplo 1. Encuentre un valor aproximado de
Solución. Primeramente, se identifica la función como . Tomemos x = 25 porque conocemos su raíz cuadrada exacta. Entonces = 0.4
Se desea calcular...