calculo

Regla de Simpson


La función f (x) (azul) es aproximada por una función cuadrática P (x) (rojo).
En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) y aveces llamada regla de Kepler es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:
.

En integración numérica, Una forma de aproximar una integraldefinida en un intervalo [a,b] es mediante la regla del trapecio, es decir, que sobre cada subintervalo en el que se divide [a,b] se aproxima f por un polinomio de primer grado, para luego calcular laintegral como suma de las áreas de los trapecios formados en esos subintervalos . El método utilizado para la regla de Simpson sigue la misma filosofía, pero aproximando los subintervalos de f mediantepolinomios de segundo grado.
Derivación de la regla de Simpson
Consideramos el polinomio interpolante de orden dos , que aproxima a la función integrando  entre los nodos x0 = a, x1 =b y m = (a+b)/2.La expresión de ese polinomio interpolante, expresado a través de la interpolación polinómica de Lagrange es:

Así, la integral buscada1

es equivalente a

donde E(f) es el término de error; porlo tanto, se puede aproximar como:

Error
El término error E(f), llamado error global, corresponde a1

donde  y  pertenece al intervalo [a,b].
Se puede calcular una estimación del errorcometido al aproximar la integral mediante este método. Si las cuatro primeras derivadas de f(x) son continuas en el intervalo, entonces el error (en términos absolutos) está acotado como2

donde, denuevo  y .
Regla de Simpson compuesta
En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmulacompuesta de Simpson. Se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales (con n par), de manera que , donde  para .
Aplicando la Regla de Simpson a cada subintervalo  tenemos:

Sumando las...