Calculo

LONGITUD DE ARCO DE CURVAS PLANAS LONGITUDES DE ARCO
• Considérese una función f(x) finita, continua y positiva en todo punto de algún intervalo [a,b]. • Sea L la longitud del arco definido por f(x)desde x=a hasta x=b. ¿Cuál es el valor la longitud de arco de la curva plana?

LONGITUD DE ARCO

LONGITUD DE ARCO...
• Es posible aproximar el valor de la longitud de arco mediante laconsideración de UN segmento de recta entre los DOS puntos x=a y x=b.

LONGITUD DE ARCO...
• Podemos mejorar la aproximación dada en el proceso anterior, considerando en lugar de uno, ahora DOS segmentos derecta entre TRES puntos.

LONGITUD DE ARCO...
• Podemos mejorar aún más la aproximación dada en el proceso anterior, considerando en lugar de dos, ahora TRES segmentos de recta entre CUATRO puntos.LONGITUD DE ARCO...
• Considerando un gran número (n) de segmentos de recta sobre la curva de f(x) es posible mejorar aún más la aproximación de la longitud de arco. • Pero ¿cómo se determina lalongitud de cada uno de los segmentos?

LONGITUD DE ARCO...
• De acuerdo con el Teorema de Pitágoras:

∆l 2 = ∆x 2 + ∆y 2
• Por lo tanto:

∆l = ∆x 2 + ∆y 2

LONGITUD DE ARCO...
• Simultiplicamos y dividimos por

LONGITUD DE ARCO...
∆x :
• Es claro que la aproximación a la longitud de arco puede ser cada vez mejor entre mayor sea el número de segmentos de recta considerados, peroserá igual sólo considerando el valor límite cuando el número de segmentos sea infinito. Así:

∆l

 ∆x  = ∆x 2 + ∆y 2    ∆x  ∆x 2 + ∆y 2 (∆x ) = ∆x 2 ∆y 2 (∆x ) = 1+ ∆x 2

2  ∆y  L= ∑ 1 + ∆x  ∆x i n→∞   i =1 Lim

n

LONGITUD DE ARCO...
• Lo anterior también puede ser expresado mediante la integral definida como:

¿Qué se entiende por longitud de una curva?

b L=

∫
a1 + [f ′( x )]2 dx

Longitud de Arco

Al igual que los conceptos de área y volumen, el concepto de longitud de arco requiere una definición cuidadosa. Si se estudiara un segmento de recta...