Calculo

Unidad 2

“Integral indefinida y métodos de integración”

2.1.-Definicion de integral indefinida.

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee: integral de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

F(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es lavariable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ F(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

2.2.- Propiedades de integrales indefinidas

1ª.- La integral del producto de una constante por una función es igual alproducto de la constante por la integral de la función.

∫c ⋅ f (x) dx = c ⋅∫ f (x) dx

2ª.- La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de las funciones sumando.

∫ [ƒ(x) + g(x)] dx = ∫ƒ(x) dx + ∫g(x) dx

3ª.- la integral de una diferencia de funciones es igual a la diferencia de las
integrales de las funciones minuendo y sustraendo.

∫ [ƒ(x) - g(x)] dx =∫ƒ(x) dx - ∫g(x) dx

4ª.- Como consecuencia de las dos propiedades anteriores:
La integral de una suma algebraica de funciones es igual la suma
algebraica de las integrales de todas y cada una de las funciones sumandos.

2.3.-calculo de integrales indefinidas

No todas las funciones poseen función primitiva, ya que dada una función puede no existir otra que la tenga porderivada.
Ahora bien, cuando una función: ƒ(x), posee función primitiva: F(x), ésta no es única, sino que existen infinitas funciones primitivas: todas las que difieren de F(x) en una cantidad constante.
En efecto, si F(x) es función primitiva de ƒ(x), se verifica que: F '(x) = ƒ(x), pues
bien, la función F(x) + C, donde C es un número real cualquiera, también es una función primitiva de ƒ(x), ya que:[F(x) + C]' = [F(x)]' + [C]' = F '(x) + 0 = F '(x) = ƒ(x)
El conjunto formado por todas las funciones primitivas de una función ƒ(x) se
denomina integral indefinida de ƒ(x) dx. La integral indefinida se representa por:

∫ f (x)dx

De lo expuesto se deduce que la integración indefinida es la operación inversa de la diferenciación, ya que consiste en hallar todas las funciones cuyadiferencial sea una dada.

Ejemplos:

∫dx = x +C
∫cos x dx = sen x +C
∫sen x dx = −cos x +C
∫exdx = ex +C

2.3.1 Directa

[pic]

De cada regla de derivación se puede deducir una regla correspondiente de

Integración. La integración directa es aplicable cuando identificamos la función

primitiva de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación

que al aplicarlanos permite hallar el integrando a partir de la función primitiva.

Ejemplo:

[pic]

2.3.2 Con cambio de variable

Un método útil en ocasiones es el de cambio de variable o sustitución. Este consiste, en líneas generales, en tomar una nueva variable, t, tal que x= g(t) sea una función continua y que admita función inversa: t = g-1(x)
Como de x = g(t) ⇒ dx = g'(t) · dt, sustituyendo en I =ƒ(x) dx
I = ∫ƒ (g (t))⋅g'(t) dt
De esta forma se ha transformado la integral indefinida en otra, función de la nueva variable t.
Si la elección de la variable t ha sido acertada, la integral resultante es más
sencilla de integrar. El éxito de la integración depende, en grado considerable, de la habilidad para elegir la sustitución adecuada de la variable.
Una vez obtenida la funciónprimitiva, F(t) + C, se deshace el cambio de la variable substituyendo t = g (x).
Así se tiene la integral indefinida en función de la variable inicial x.

2.3.3 Trigonometricas
Potencias pares de sen x o cos x

El seno y coseno del ángulo mitad son:

[pic]

Si n es par, entonces se pueden escribir senn y cosn en forma de potencias de [pic]y [pic]respectivamente.

Ejemplos...