Calculo

j

Definición formal


[editar] Funciones de variable real

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Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Si la función f tiene límite L en c podemosdecir de manera informal que la función f tiende hacia el límite L cerca de c si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de c siendo xdistinto de c.
Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:
|El límitede una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo [pic]existe un [pic]tal que para todo número |
|real x en el dominio de la función [pic].|


Esto, escrito en notación formal:
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Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, laprecisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no selogra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.
No obstante, hay casos como porejemplo la función de Dirichlet [pic]definida como:
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donde no existe un número c para el cual exista [pic]. Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es necesario hacer uso del hechode que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.

[editar] Límites laterales

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El límite cuando: x → x0+ ≠ x → x0-. Por lo tanto, el límite cuando x → x0 noexiste.
De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores más grandes que éste (derecha):
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o tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los límites pueden ser...