Calculo

Universidad de la Frontera
Facultad de Ingenier´ Ciencias y Administraci´n
ıa,
o
Departamento de Matem´tica y Estad´
a
ıstica

Gu´ N◦3: Aplicaciones de la Integral Definida
ıa
C´lculo Integral de una Variable (IME264)
a
Segundo Semestre 2010

Carrera: Pedagog´ en Matem´tica
ıa
a
Profesor: Alex Sep´lveda.
u
Email: asepulveda@ufro.cl
1. En cada uno de los siguientes ejerciciosobtenga el ´rea de la regi´n acotada por las gr´ficas
a
o
a
de las ecuaciones dadas. Bosqueje la gr´fica de la regi´n.
a
o
a) R acotada por la curva y = x − x2 y el eje x
√
b ) R acotada por la curva y = (3 − x) x y el eje x

c ) R acotada por las curvas y = x3 + x, x = 2 y el eje x

d ) y = 9x − x2 , y = 0

e ) y = x2 , y = x, x = 1, x = 3

f ) x = y 2 − 2y − 3, x = 0

g ) x2 = y3 , x = 0, y = 4 en el primer cuadrante
h) x = 4y 2 − y 3 , x = −1 − y , y = 0, y = 3
i ) y 2 = 4x + 1, x + y = 1

j ) y = |x + 1| + |x|, y = 0, x = −2, x = 3

k ) x = 5y, x = y 3 − 2y 2 − 3y
l ) y 2 = 6 + 3x, y = 3x

2
,x>0
x2
n ) y = x2 , x = y 3 , x + y = 2

m) y = 2x, 4y = x, y =

n) y = x3 − x2 , y = 2x2 − 4
˜
2. Determine m ∈ R de tal manera que la regi´n sobre la recta y= mx y bajo la par´bola
o
a
2
2
y = 2x − x tenga un ´rea de 36 [u ]. R: m = −4.
a
3. Determine el ´rea encerrada por las par´bolas y 2 = 4px y x2 = 4py , con p > 0.
a
a
4. Dibuje el recinto Ω = {(x, y ) ∈ R2 : x2 − 1 ≤ y ≤ 1 − |x|} y calcule su ´rea.
a
5. Sea f (x) = x − x2 y g (x) = ax. Determine los valores de a ∈ R para el que el ´rea de la
a
9
regi´n acotada acotada por ambasfunciones sea .
o
2

1

6. Halle el ´rea de la regi´n acotada por la par´bola y = x2 , la recta tangente a esta par´bola
a
o
a
a
en el punto (1, 1) y el eje x.
7. Encuentre b ∈ R tal que la recta y = b divida la regi´n acotada por las curvas y = x2 y y = 4
o
en dos regiones con ´reas iguales.
a
8. Halle los valores de c ∈ R tales que el ´rea de la regi´n encerrada por laspar´bolas y = x2 − c2
a
o
a
e y = c2 − x2 sea 576.
9. ¿Para qu´ valores de m, la recta y = mx y la curva y =
e
el ´rea de la regi´n?
a
o
10.

x2

x
encierra una regi´n?. Encuentre
o
+1

1
a) Hallar el n´mero a tal que la recta x = a divida el ´rea de la regi´n acotada por y = 2 ,
u
a
o
x
1 ≤ x ≤ 4, en dos partes iguales.

b ) Encontrar el n´mero b tal que la recta y = b dividael ´rea de la regi´n acotada por
u
a
o
1
y = 2 , 1 ≤ x ≤ 4, en dos partes iguales.
x
π
e
a
o
11. Suponga que 0 < c < ¿Para qu´ valores de c, el ´rea de la regi´n encerrada por las curvas
2
y = cos x, y = cos(x − c) y x = 0 es igual al ´rea de la regi´n encerrada por las curvas
a
o
y = cos x, x = π e y = 0?
12. Existe una recta que pase por el origen y divida la regi´n acotada porla par´bola y = x − x2
o
a
y el eje de las abscisas en dos regiones de igual ´rea ¿Cu´l es la pendiente de esa recta?
a
a
13. En cada uno de los siguientes casos hallar el volumen del s´lido generado por la rotaci´n de la
o
o
regi´n acotada por las curvas que se indican en torno a la recta L dada:
o
a) x + y = 2 x = 0, y = 0, L : eje x
√
b ) y = 2 5x, x = 4, L : eje x, eje y

c )y = sen x, y = 0, 0 ≤ x ≤ π , L : eje x, eje y
√
√
d ) y = x, y = 3 x, L : eje x
e ) y = 4x2 , x = −1, x = 2, y = 0, L : x = −1

f ) y = ln x, y = 0, x = e, L : y = −1

g ) y = 9 − x2 , y = 2x2 , L : eje y
√
h) y = x2 − 9, x = 5, x = 9, y = 0, L : eje y
i ) y = 1 + sen x y = 0, 0 ≤ x ≤ 2π , L : eje y

j ) y = x2 , x = y 2 , L : x = −2
π
√
R: (a) 83 ; (b) 160π , 2565π ; (c)
(i) 4π2 (π − 1); (j) 49π .
30

π2
,
2

2π 2 ; (d)

π
;
10

(e) 54π ; (f) πe; (g)

27π
;
2

(h)

32π
3

√
27 2 − 4 ;

14. Exprese las integrales necesarias para determinar, por el m´todo del disco y la corteza, el
e
volumen del s´lido de revoluci´n que se obtiene al girar las regi´n R acotada por las gr´ficas
o
o
o
a
2
de las funciones y = x + 4, y = 8, en el primer...