Calculo

Teorema fundamental del cálculo
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a navegación, búsqueda
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivacióne integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en larama de las matemáticas denominado análisis matemático o cálculo.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, yque permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.
Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodosaproximados para el cálculo de volúmenes, áreas y longitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibnizque este teorema pudo ser enunciado y demostrado.
Primer teorema fundamental del cálculo [editar]
Dada una función f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por . Si f escontinua en , entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c). |
Demostración [editar]
Lema [editar]
Sea f integrable sobre [a,b] y

Entonces

Demostración [editar]
Por definición se tiene que .
Seah>0. Entonces .
Se define mh y Mh como:
,

Aplicando el 'lema' se observa que
.
Por lo tanto,

Sea h < 0. Sean
,
.
Aplicando el 'lema' se observa que
.
Como
,
entonces
.
Puestoque h < 0, se tiene que
.
Y como f es continua en c se tiene que
,
y esto lleva a que
.
Ejemplos [editar]

Segundo teorema fundamental del cálculo [editar]
También se le llama regla deBarrow, en honor a Isaac Barrow o regla de Newton - Leibniz.
Dada una función f continua en el intervalo [a,b] y sea g cualquier función primitiva de f, es decir g'(x)=f(x) para todo , entonces: |...