Calculo

CONTROL I MA 2A1, 2009/1

Profs. M del Pino, M. Kowalczyk (1) (a) Considere la funci´n o f (x, y) = 4y 2 x + 1 . sin(3x + y − 2)Muestre que f es diferenciable en (0, 2) y encuentre la mejor aproximaxi´n o lineal af´ T (x, y) de f cerca de este punto. ın   f1o (b) Sea f : R2 → R3 , f = f2 , una funci´n diferenciable en el punto f3 (0, 2) tal que     3 1 0 f (0, 2) = 4 f (0, 2) = 04 . 0 1 1 Considere la funci´n g(x, y) := f1 (x, y) + f2 (x, y)f3 (x, y). Demuestre que g o es diferenciable en (0, 2). Encuentre elvector g(0, 2). (2) Considere la funci´n o f (x, y) =
xy 2 x2 +y 2

0

si (x, y) = (0, 0) . si (x, y) = (0, 0)

(a) Demuestreque f es continua en (0, 0) y que las derivadas direccionales f ((0, 0); e), con e cualquier vector unitario, existen. Calcule lasderivadas parciales ∂f ∂f (0, 0), (0, 0). ∂x ∂y (b) ¿Es f diferenciable en (0, 0)? Justifique claramente su respuesta. (3) Considere elconjunto A = {(x, y) ∈ R2 / x ≥ 0, y ≥ 0} y la funci´n o f (x, y) = e−x
2

−y 2

[x2 y 2 + log(1 + xy)].

(a) Demuestre que A esun conjunto cerrado y que f es una funci´n continua o en todo punto de R2 . (b) Demuestre que existe un punto (¯, y ) ∈ A tal que x ¯ f(¯, y ) ≥ f (x, y) x ¯ para todo (x, y) ∈ A. (c) ¿Alcanza f su valor m´ ınimo en A? Justifique claramente su respuesta.

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