calculo
Javier Pérez González
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada
Asignatura: Cálculo
Curso: Primero
Titulación: Ingeniero de Telecomunicación
septiembre 2006
Índice general
1. Axiomas de los números reales. Desigualdades. Principio de inducción
1
1.1. Números reales. Propiedades algebraicas y de orden . . . . . . . . . . . .. . . . .
2
1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3. Principio de inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2. Funciones reales. Funciones elementales
10
2.1.Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3. Números complejos. Exponencial compleja
26
3.1. Operaciones básicas con númeroscomplejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.1.1. Representación gráfica. Complejo conjugado y módulo . . . . . . . . . . .
28
3.1.2. Forma polar y argumentos de un número complejo . . . . . . . . . . . . .
29
3.1.3. Raíces de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
33
3.3. Funciones elementales complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.3.1. La función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.3.2. Logaritmos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
I
Índice general
II
3.3.3. Potencias complejas . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.4. Ejerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4. Continuidad
38
4.1.1. Propiedades básicas de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.2. Teorema de Bolzano. Supremo e ínfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.3. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5. Sucesiones
45
5.1. Sucesiones de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.1.1. Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el cálculo de límites . . . .
53
5.2. Sucesiones de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
55
5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
6. Continuidad en intervalos cerrados y acotados. Límite funcional
59
6.1. Límite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
6.2. Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
6.3. Discontinuidades. Álgebra de límites. Límites de funciones monótonas . . . . . .
63
6.4. Continuidad y monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
6.5. Indeterminaciones en el cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
68
7. Derivadas
69
7.1.1. Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica . . . . . . . . . .
69
7.1.2. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
7.2. Teoremas de Rolle y del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
7.2.1. Consecuencias del teorema del valor medio . . . . . . ....
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