calculo


Teoremas de límites



Teorema
Si una función tiene límite es único. 

H) Existe limx->af(x)=b
T) b es único
Demostración
La demostración se hace por reducción al absurdo.
Suponemos quef(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a.
Suponemos que b > c.
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo Eb,ε existe un E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x)pertenece al Eb,ε.
limx->af(x)=c => (por def. de límite) para todo Ec,ε existe un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε.



 Teorema de límite1:

Si  k es unaconstante y a un número cualquiera, entonces


Ejemplos:




 Teorema de límite2:
Para cualquier número dado a,









 Teorema de límite3:

Si m y b son dos constantes cualesquiera,entonces





 Teorema de límite4:






 Teorema de límite5:


Este teorema lo que nos dice es que el límite de la suma de dos funciones, es igual a la suma de los límites de cada unade las funciones. 
Ejemplos:



 Teorema de límite6:
Si  f es un polinomio y a es un número real, entonces



Si  y  son dos funciones para las que  y  entonces se cumple que  

Es decir,el límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de cada una da las funciones. Ejemplos:





 Teorema de límite7:
Si q es una función racional y a pertenece aldominio de q, entonces


Si  y  son dos funciones para las cuales  y entonces se tiene que: 
 siempre que  
 Teorema de límite8:


 Procedimiento para calcular límites
     Si es posible aplicardirectamente las propiedades anteriores, el límite se calcula directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4  implicanfunciones polinómicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el límite de una función polinómica. Lo mismo, la...