calculo

5

LÍMITES DE FUNCIONES.
CONTINUIDAD

Páginas 128 y 129
I

Describe las siguientes ramas:
a)
lím f (x) = 3

x → +∞

b)
lím f (x) no existe

x → +∞

c)
lím f (x) = 3

x → +∞

d)
lím f (x) = +∞

x → +∞

e)
lím f (x) = –∞

x → +∞

Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad

1

f)
lím f (x) = +∞

x → –∞

g)
lím f (x) = –2

x → –∞

h)

1

lím f (x)= +∞

1

x → – 1–

2

x → – 1+

1

x → 4–

2

x → 4+

lím f (x) = –∞

2

i)

1

2

lím f (x) = 5

lím f (x) = 2

j)

lím f (x) = –2

x→2

Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad

2

Página 131
1. Si u (x) → 2 y v (x) → –3 cuando x → +∞, calcula el límite cuando x → +∞ de:
a) u (x) + v (x)
b) v (x)/u (x)
c) 5u (x)
d) √v (x)

3

f ) √u (x)e) u (x) · v (x)

v (x)
–3
=
u(x)
2

lím

lím [u(x) + v (x)] = 2 + (–3) = –1

b)

x → +∞

lím 5 u(x) = 5 2 = 25

d)

x → +∞

a)

x → +∞

c)

x → +∞

e)

x → +∞

lím

lím √v (x)

no existe

3

[u (x) · v (x)] = 2 · (–3) = –6

f)

3

lím √u (x) = √2

x → +∞

2. Si u (x) → –1 y v (x) → 0 cuando x → +∞, calcula el límite cuando x → +∞ de:
a) u (x) –v (x)
b) v (x) – u (x)
c) v (x)/u (x)
d) log2 v (x)
a)
c)

d)
e)
f)

lím [u (x) – v (x)] = –1 – 0 = –1

x → +∞

lím

x → +∞

3

f ) √u (x)

e) u (x) · v (x)
b)

lím [v (x) – u (x)] = 0 – (–1) = 1

x → +∞

v (x)
0
=
=0
u(x)
–1

+

lím log2 v (x) =  – ∞ si v (x) → 0
 no existe si v (x) → 0–

x → +∞

lím [u (x) · v (x)] = –1 · 0 = 0

x → +∞

3

3lím √u (x) = √–1 = –1

x → +∞

Página 132
3. Indica cuáles de las siguientes expresiones son infinitos (±∞) cuando x → +∞:
a) 3x 5 – √x + 1

b) 0,5x

c) –1,5x

d) log2 x

e) 1/(x 3 + 1)

f ) √x

g) 4x

h) 4–x

i) – 4x

a)
b)
c)
d)

lím (3x 5 – √x + 1) = +∞ → Sí

x → +∞

lím 0,5x = 0 → No

x → +∞

lím (–1,5 x) = – ∞ → Sí

x → +∞

lím log2 x = +∞ → Sí

x→ +∞

Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad

3

e)
f)
g)
h)
i)

lím

x → +∞

1
= 0 → No
x3 + 1

lím √x = +∞ → Sí

x → +∞

lím 4 x = +∞ → Sí

x → +∞

lím 4 –x = 0 → No

x → +∞

lím –4x = – ∞ → Sí

x → +∞

4. a) Ordena de menor a mayor los órdenes de los siguientes infinitos:
log2x

√x

x2

3x 5

1,5x

4x

b) Teniendo en cuenta el resultadoanterior, calcula:
log2 x
√x
3x 5
lím
lím
lím
2
1,5 x
x → +∞ √ x
x → +∞ x
x → +∞
a) 4 x 1,5x 3x 5 x 2

b)

lím

x → +∞

log2 x

√x

√x

log2 x

=0

lím

3x 5 = +∞
x2

lím

√x = 0
1,5 x

x → +∞

x → +∞

Página 133
5. Sabiendo que, cuando x → +∞, f (x) → +∞, g (x) → 4, h (x) → –∞, u (x) → 0,
asigna, siempre que puedas, límite cuando x → +∞ a lasexpresiones siguientes:
c) f (x) + h (x)
a) f (x) – h (x)
b) f (x) f (x)
x
e) f (x) · h (x)
f ) u (x) u (x)
d) f (x)
h (x)
g) f (x)/h (x)
h) [–h (x)]
i) g (x) h (x)
j) u (x)/h (x)
k) f (x)/u (x)
l) h (x)/u (x)
m) g (x)/u (x)
n) x + f (x)
ñ) f (x) h (x)
o) x + h (x)
p) h (x) h (x)
q) x –x
a)
b)

lím

x → +∞

( f (x) – h (x)) = +∞ – (– ∞) = +∞ + ∞ = +∞

lím f (x) f (x) = (+∞) +∞= +∞

x → +∞

Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad

4

c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
ñ)
o)
p)
q)

lím

x → +∞

( f (x) + h (x)) = +∞ + (– ∞)

→ Indeterminado

lím f (x) x = +∞+∞ = +∞

x → +∞

lím

x → +∞

( f (x) · h (x)) = +∞ · (– ∞) = – ∞

lím u (x) u(x) = 00 → Indeterminado

x → +∞

lím

x → +∞

f (x)
+∞
=
h (x)
–∞

→Indeterminado

lím [–h (x)] h (x) = [+∞] – ∞ = 0

x → +∞

lím g (x) h (x) = 4 – ∞ = 0

x → +∞

lím

u (x)
0
=
=0
h (x) – ∞

lím

f (x)
+∞
=
= ±∞
u (x) (0)

lím

h (x) – ∞
=
= ±∞
u (x) (0)

lím

g (x)
4
=
= ±∞
u (x) (0)

lím

(x + f (x)) = +∞ + (+∞) = +∞

x → +∞
x → +∞
x → +∞
x → +∞
x → +∞

lím f (x) h(x) = (+∞) – ∞ = 0

x → +∞

lím

x → +∞

(x...