Calculo

PRIMER BIMESTRE
CÁLCULO
PRUEBA DE ENSAYO
1. (F) El limx!2 9 = 2:
limx!2 9 = 9
5
2. (F) El limx!0 x+x2 = indef inido:
5
limx!0 x+x2 = 1
5
limx!0+ x+x2 = +1
5
5
limx!0 x+x2 6= limx!0+ x+x2
=)
5
limx!0 x+x2 = indef inido
3. (F) = +1
limx! 1 x+2 = 1
x
4. (V) limx! 1 5x = 1
p
5. (V) limx!1 px + 10 = 1
6. (V) limx!1 3x = 1
p
7. (F) limx!1 x2 = 0
p
limx!1 x2 = 1
d
8. (F) dx3x5 = 3 + x4
d
5
= 15x4
dx 3x
d
9. (V) dx (4x ) = 4x ln 4
d
x
x
2x
ln 22 = 22x+1 ln 2
dx (4 ) = 4 ln 4 = 2
d4
10. (V) dx 7 = 0
PRUEBA DE ENSAYO
1. Encuentre los siguientes límites:
a. limx! 2 3x3 4x2 + 2x 3 =
limx! 2 3x3 4x2 + 2x 3 =
limx! 2 3x3
limx! 2 4x2 + limx! 2 (2x) limx!
3 limx! 2 x3
4 limx! 2 x2 + 2 limx! 2 (x) 3 =
3
2
3 (limx! 2 x)
4 (limx! 2 x) + 2 (limx! 2 x) 3=
3
2
3 ( 2)
4 ( 2) + 2 ( 2) 3 =
3 ( 8) 4 (4) 4 3 =
24 16 4 3 =
47
limx! 2 3x3 4x2 + 2x 3 = 47
2
b. limx! 3 x+5 =
x
limx!
limx!
5
2=

3 (x

2)

3 (x+5)

=

1

2

(3) =

5
2

2
limx! 3 x+5 = 5
xp
2
c. limx!4 x2 + x + 5 =
p
2
p limx!4 (x + x + 5) =
25 =
5
p
limx!4 x2 + x + 5 = 5
2
d. limx! 7 px 2+1 9 =
x4

2
px +1 = 1
x2 49
2
limx! 7+ px 2+1 9= ( i) 1
x4
2
limx! 7 px 2+1 9 = indef inido:
x4
e. limx! 1 x+1 =
x

limx!

7

limx!

1

x+1
x
x
x
1
x +1

=

limx! 1 1 =
1
limx! 1 x + 1 =
1
limx! 1 x+1 = 1
x
3
+4 2
f. limx! 4 xx +2xx 8 =
2

x2 (x+4)
4 (x+4)(x 2) =
2
limx! 4 xx 2 =
limx! 4 x2
limx! 4 (x 2) =
16
6=
8
3
3
+4 2
limx! 4 xx +2xx 8 = 8
2
3
3
3
g. limx!5 x pxx 510 =
3
3
limx!5 xpxx 510 = ( i) 1
3
3
limx!5+ x pxx 510 = 1
3
3
3
3
limx!5 x pxx 510 6= limx!5+ x pxx 510

limx!

=)
3
3
limx!5 x pxx 510 = indef inido
2. Determinar si la función es continua en los puntos dados.
SOLUCIÓN
4
g (x) = x+4 ; x = 4
x
44
g (4) = 4+4 = 0
g (4): está de…nida.
4
limx!4 g (x) = limx!4 x+4 = 0
x
4
limx!4+ g (x) = limx!4+ x+4 = 0
x
limx!4 g (x) = limx!4+ g (x) = 0)

2

limx!4 g (x) = 0
)
g (4) = limx!4 g (x)
)
La función es continua en el punto dado.
3. Encuentre los puntos de discontinuidad de la función.
3
(2x2 3)
g (x) =
15
SOLUCIÓN
2
4
6
g (x) = 54x 36x +8x 27
15
9
8
g (x) = 15 x6 152 x4 + 18 x2 5
5
Es una función polinomial de sexto grado.
Por tanto, su dominio es los números reales.
9
8
g (x) = 15 x6 152 x4 + 18 x2 5
5y
6250

5000

3750

2500

1250

0
-5

-2.5

0

2.5

5
x

d
8
9
g 0 (x) = dx 15 x6 152 x4 + 18 x2 5
5
36
48 3
16 5
0
g (x) = 5 x
5x + 5x
36
x 458 x3 + 16 x5 = 0
5
5
p
p
1
Solución: x = 0; x = 1 6; x = 2 6
2
d
36
48 3
16 5
= 16x4 144 x2 +
dx
5x
5x + 5x
5
144 2
36
4
f (x) = 16x
5x+5
f (0) = 36 > 0: Mínimo.
p5
1
f
exión.
2 6 = 0: Punto dein‡
p
1
f 2 6 = 0: Punto de in‡
exión.
8
9
g (x) = 15 x6 152 x4 + 18 x2 5
5
9
g (0) = 5 = 1: 8
Rango: [ 1: 8; +1)

3

36
5

La función es continua en toda su extensión.
4. Enplear la de…nición de derivada para encontrar la primera derivada de
la función.
d
2
8
dx x + 4x
SOLUCIÓN
d
2
8 = 2x + 4
dx x + 4x
f (x) = x2 + 4x 8
2
f (x + h) = (x + h) + 4 (x + h) 8
f (x +h) = 2hx + h2 + x2 + 4h + 4x 8
f (x + h) f (x) = 2hx + h2 + x2 + 4h + 4x 8
x2 + 4x 8
2
f (x + h) f (x) = 4h + 2hx + h
f (x + h) f (x) = h (h + 2x + 4)
f (x+h) f (x)
= h + 2x + 4
h
f (x+h) f (x)
limh!0
= limh!0 (h + 2x + 4)
h
f 0 (x) = 2x + 4
5. Utilizando las reglas de derivación, encuentre la primera derivada de las
siguientes funciones:
t7
a. f (x) = 25
f 0 (x) =

d
t7
dt25
1
7 t7 1
25
76
25 t
3

f 0 (x) =
f 0 (x) =
b. y = 13x + 14x2 2x + 3
dy
d
13x3 + 14x2 2x + 3
dx = dx
dy
d
d
d
3
+ dx 14x2
dx =
dx 13x
dx (2x) +
dy
39x2 + 28x 2 + 0
dx =
dy
39x2 + 28x 2
dx =
3
1
c. f (z ) = 3z 4 122 8z 4
3
1
d
f 0 (z ) = dz 3z 4 122 8z 4
f (z ) =
f (z ) =
0

f (z ) =
d. f (q )
f 0 (q ) =
f 0 (q ) =
f 0 (q ) =
f 0 (q ) =

1

d...