Calculo

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN FAC. DE CSC. FÍSICA Y MATEMÁTICA DPTO. DE INGENIERÍA MATEMÁTICA

Listado I Mat-525117-525104 CALCULO

I.- Calcule los siguientes límites:
2 −1 a) lím x x →1

x −1

R :2

b) lím
x →1

3+ x −2 x −1
1 + 2x − 3 x −2

R:

1 4

c) lím

x→0 3

x 27 + x − 3

R :27

d) lím

x→4

R:

4 3

e) lím
x →1

x −1 x −1

R: ∃ R :- ∞
6 3

3 + 2x2 − x − 2 f) lím x 2 x→

2

+

x −4

R: ∞

g) lím

1 2 − 2 − x → −2 x - 2 x −4

h) lím

x→2

3 x −8 2 x −4

R: 3

i) lím

x→0

x + 3 − 4x + 3 x + 4 − 2x + 4

R:

j) lím
x →2

4 - x2 3 - x2 + 5

R :6

II.- Calcule los siguientes limites (al infinito) k) lím
x +1 5 x
x →∞

1 R: 5

 x+2 , si x ≤ 3  l) lím f(x) , f(x) =  2 12 - 2x x →3  , si x > 3  3R: ∃

m) lím

3x + 4 2x − 5
2

x →∞

R:

3 2

n) lím

x →∞

3 x −1 3x 3 + x + 4

R:

1 3

o) lím

x → −∞

− x 4 − 3x + 2 − 3 x3 − 5x

R : -∞

p) lím

x →∞

(

x +1 − x

)

R:0

III. -Determine todas las asíntotas verticales , horizontales y oblicuas de : a)
f ( x) = x ( x + 1)( x + 2)( x + 3)

R : x = -1 ; x=-2 ; x=-3 ; y =o R : x = 2 ; y = 2 ; y = -2R: y = ±
2 3

b) x y 2 − 2 y 2 − 4 x = 0 c) 4 x 2 − 9 y 2 = 36

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IV.- Analice en ℝ la continuidad de las funciones :
− x 2 , si  , si 0 a) f ( x) =  x  , si  x , si 2  x 1

b) f ( x) =  ln 




 1   x − 5x + 6   
2

b) Determine los valores de a y b ∈ℝ para los cuales la función es continua
 ax 2 + b , si x < 1  f ( x) = 4 , si x = 1  ax- b  2 , si x > 1  ax + 2

V.- Calcule la derivada de f(x) usando la definición : a) f ( x) = x2 − 3x b) f ( x) = 5 x + 1 VI.-Calcule las derivadas de las funciones siguientes : a) f ( x) = 2 x 3 − 6 x 2 + 5 x − 10 b) f ( x) = (x 4 + 7 )(3x 2 − 9 x ) c) f ( x) =
x 5 − 3x 3 2x 2 + 1
5

d) f ( x) = Ln( x − x 3 ) f) f ( x) = e − x ln( x) j) f ( x) = (x 2 − 3x + 7 ) h) f ( x) = e
1 − x 2−2

e) f ( x) = x 2 3 x
2  g) f ( x) =     x − 1

3

i) f ( x) = 53 x

2

j) f ( x) = 5 5 x 2 − 200 l) f ( x) = Ln( x 3 −elog x ) n) f ( x) = ln
x4 (3x − 4)2
1

k) f ( x) = log 2 [(x 2 − 2)(3x + 1)] m) f ( x) =
1 2π e
− x2 2

VII.- Grafique y determine : intervalos de crecimiento, decrecimiento y concavidad; puntos críticos, máximos, mínimos, puntos de inflexión y asíntotasde las siguientes funciones: a) f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 8 x b) f ( x) = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x
x2 +1 x2 −1 e) f ( x) = 2 x 3 + 3x 2 − 12 x − 7

c) f ( x) =

d) f ( x) = e − x

2

f) f ( x) = 10 x 6 + 24 x 5 + 15 x 4 + 3 h) f ( x) = 3x5 − 5 x 3 j) f ( x) = (x 2 − 1)
4

x2 g) f ( x) = x−2

i) f ( x) = 2 + (x − 1)3

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VIII.- Determine el máximo y el mínimo absoluto, siexisten, de las siguientes funciones en el intervalo dado : a) f ( x) = 2 x 3 + 3x 2 − 12 x - 7 R : 13 y –7 , en [- 3, 0 ] 5 3 b) f ( x) = 3x − 5 x R : 2 y –56 , en [- 2, 0 ] c) f ( x) = x + d) f ( x) =
1 x 1 x , en ]0, ∞ [ , en ]0, ∞ [

R : ninguno y 2 R : ninguno

IX.- Determine las ecuaciones de las rectas tangentes y normales : a) y = x 3 − 2 x 2 + 4
en (2, 4

)

b) x 2 + 3 xy + y 2 =5 en (1, 1) c) x 2 − y 2 = 7 en (4, - 3) d) y= e 2 x en x = 0

x 4 R : y = −x + 2 ; y = x

R : y = 4x − 4 ; y = - +

9 2

R : 4 x + 3 y = 7 ; 3x - 4y = 24 R : y = 2x + 1

X.-Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a : 9 x 2 + 16 y 2 = 52 que sean paralelas a la recta : 9 x − 8 y = 1 .
R : 9 x − 8 y = ±26 XI.- Una página debe contener 24 pulgadas cuadradas de texto escrito. Silos márgenes superiores e inferiores tienen 1,5 pulgadas de ancho y los márgenes laterales tienen 1 pulgada cada uno ¿Qué dimensiones de la página minimizan la cantidad de papel requerido? XII .- C(x) es el costo de manufactura de una cantidad x de un producto dado ; p es el precio por unidad, entonces la utilidad obtenida al vender una cantidad x es P( x) = px −C ( x )

si

C ( x) =( x −...