Calculo

Objjetiivo
Ob et vo
Especíífiico
Espec f co

7

Calcular la derivada de la función exponencial
y de la función logarítmica.

En cursos anteriores se estudiaron los temas referentes a las funciones
exponenciales y logarítmicas. La función exponencial se definió como una
ecuación donde la variable independiente aparece como exponente de una
base constante.
Esta tiene la forma general:{(x,y)/y=f(x)=ax, a>0, x∈R} Donde
“a” es la base y “x” el exponente.

Y se llama función exponencial de base a, también se estudió la base
exponencial natural; es decir la que tiene como base el número irracional
positivo e= 2,71828..., que se denota como f(x) = ex
La función inversa de la función exponencial de base a, se llama función
logarítmica de base a y se define como y =f(x)=log x. De la función
logarítmica podemos obtener la definición de logaritmo: se dice que y es el
logaritmo en base a de x si y solo si ay = x se escribe y=loga x, con a ∈>0.

71

Los logaritmos comunes son aquellos que tienen como base el número 10.
Estos reciben el nombre de logaritmos decimales.

Log x = log10 x, para todo x>0.

De la función exponencial natural f(x) = ex, obtenemos lainversa, que es
la función logarítmica natural, y de ella obtenemos los logaritmos
naturales.
Se usa el símbolo Lnx, como la abreviatura de logex y se llama logaritmo
natural de x.
Lnx = logex para todo x>0

Para el estudio del presente tema es muy importante recordar las
propiedades que cumplen los logaritmos:
Si y = loga x entonces ay= x ó x=logax ∨
x>0
Loga a=1
Loga 1=0
Si y = Lnx entonces x = ey ó x = eLnx
x>0
Ln e = 1
Ln 1= 0
72

También debemos recordar que:

Loga (u.w) = Loga u + Loga w
Loga (u/v) = Loga u - Loga w
Loga (un) = nLoga u, n ∈ R
Ln (u.w) = Ln u + Ln w
Ln (u/v) = Ln u - Ln w
Ln (un) = n Ln u, n ∈ R
A
continuación daremos a conocer los teoremas referidos a la función
exponencial y logarítmica:

Teorema 17.
Si y = Ln u, siendo u unafunción de x entonces: y’ =

1 du
⋅
u dx

Ejemplo 59.
Sea y = x Ln x , Hallar y’
Al analizar la función dada observamos que la misma está conformada por
un producto de funciones y por tanto sabiendo que:
i) u = x → u’ = 1
ii) v =

Ln x → v’ =

→ Regla de la potencia
1
1
→ Por teorema
⋅
x
2 Ln x

Ya podemos aplicar la regla del producto de funciones, de la siguiente
manera:
Como(u.v)’ = u.v’ +v.u’, sustituyendo cada uno de estos términos se
73

tiene que:
y’ =

1
1
⋅ + 2 Lnx . 1
2 Lnx x

Simplificando se obtiene
y’ =

1
+ Lnx
2 Lnx
¡Piensa!

Resolviendo la operación indicada se tiene
y’ =

1+ 2

Un cubo

Lnx ⋅ Lnx
1 + 2 Ln x
→ Solución
=
2 Lnx
2 Lnx

pintado de
rojo, es
dividido en 64

Ejemplo 60. Sea yLnx + y2 = 0. Hallar y’.cubos

Este ejercicio se diferencia del anterior en que las

pequeños.

variables están relacionadas mediante una ecuación.

¿Cuántos de

Cuando así es el caso se debe hacer uso de la derivación

los cubos

implícita como se muestra a continuación:

pequeños
tienen una

Al

observar

detenidamente

la

ecuación

dada,

nos

podemos dar cuenta de que existe un productode

cara pintada
de rojo? ¿dos

funciones. Haciendo uso de un procedimiento similar al
del ejercicio anterior tenemos que:
u=y

caras ?
¿cuatro
caras ?
¿ninguna
cara ?

v = Lnx
Se tiene:

y’ . Lnx + y/x + 2y.y’ = 0 → Aplicando la regla del producto y el teorema
y’ . Lnx + 2y.y’ = -y/x

→ Agrupando términos semejantes

y’ (Lnx + 2y) = -y/x

→ Sacando factor común y’

y’=

−y
x(Lnx + 2 y)

→ Despejando, obtenemos la solución

74

Ejemplo 61: Sea y = Ln
Como u =

x Hallar y’

x = x1/2

11
⋅
2
x
111
⋅⋅
y’ =
→ Aplicando el teorema
x2
x
1
y’ =
→ Multiplicación de igual base
2
2x
1
→ Simplificando, obtenemos la solución
y’ =
2x

du =

()

Teorema 18.
Si u es una función de “x” y f(x) = eu Entonces: y’ = eu .

du
dx

A...