calculo

4.11divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física

LA DIVERGENCIA se aplica exclusivamente a campos vectoriales. Es un vector que indica en qué dirección las lineas de campo se encuentran más separadas entre sí, o sea la dirección hacia donde disminuye la densidad de lineas de campo por unidad de volumen. El módulo de la divergencia indica cuánto disminuye dicha densidad. Ladivergencia puede ser alta aunque el valor del campo sea muy bajo en ese punto.
Una divergencia elevada indica que en esa zona el campo se está "abriendo" como los rayos de luz que emergen de una fuente puntual. Una divergencia nula indica que en esa zona los rayos son paralelos, como las velocidades de un fluido sin turbulencias dentro de un tubo, aunque el tubo sea curvo y todo el flujo estérotando uniformemente.

DIVERGENCIA
Definición
Se define la divergencia de un campo vectorial en un punto como el límite

donde el límite se toma sobre volúmenes τ cada vez más pequeños que tienden al punto
La divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar.
Esta cantidad es independiente de la sucesión de volúmenes que se tomen con tal de que converjan en el mismo punto de manerauniforme.
Ejemplo
Vamos a calcular la divergencia de en .
En el artículo sobre flujo de un campo vectorial se ve que si consideramos una superficie cúbica de arista 2a en torno al origen de coordenadas, el flujo del vector de posición a través de esta superficie es

El volumen de este cubo es

Por tanto la divergencia en es

Calculemos ahora esta misma divergencia pero considerandoesferas de radio R en torno al origen. Para cada una de estas esferas el volumen es

y el flujo a través de la superficie esférica

por lo que la divergencia en es

Vemos que el resultado es independiente de que lo hayamos calculado usando cubos o esferas.
Hay que destacar que lo que hemos calculado es la divergencia en un solo punto.
Fuentes escalares de un campo vectorial
Ladivergencia es una cantidad escalar con signo. Este signo posee significado geométrico y físico:
Si la divergencia de un campo vectorial en un punto es positiva, quiere decir que en dicho punto el campo radia hacia el exterior. Se dice que esa posición el campo vectorial posee un manantial.
Si por contra la divergencia es negativa, el campo converge hacia dicho punto; se dice que el campo posee unsumidero.
Ambos, manantiales y sumideros, constituyen las fuentes escalares de un campo vectorial; por ello
Si la divergencia es nula en un punto el campo carece de fuentes escalares en dicho punto.
El concepto de divergencia se define para cada punto. A partir de esta definición, puede construirse un campo escalar a partir de uno vectorial, cuyo valor es igual a la divergencia del campovectorial en dicho punto

Este campo ρ, que rescribe la distribución de manantiales y sumideros del campo vectorial, se conoce como fuentes escalares de .
El uso de la palabra fuentes para algo que parece derivarse de otra cosa, se debe a que en la práctica el camino es el contrario: lo que se conoce habitualmente son las fuentes del campo y la cantidad que hay que calcular es el propio campovectorial. En este sentido las fuentes “producen” el campo.
El ejemplo físico más sencillo es el del campo electrostático. Las cargas eléctricas (que son las fuentes escalares) producen el campo eléctrico. El campo eléctrico radia hacia el exterior de las cargas positivas, que son sus manantiales, y converge hacia las cargas negativas, que son sus sumideros.



Campo solenoidal
Un campocuyas fuentes escalares son nulas en todos los puntos del espacio

se denomina campo solenoidal.
El ejemplo más importante, en electromagnetismo, de campo solenoidal es el campo magnético \mathbf{B}, que verifica

tanto en situaciones estáticas como dinámicas.
Un campo solenoidal se caracteriza porque sus líneas de campo no pueden converger ni divergir de ningún punto; no pueden tener...