Calculo

MÉTODO DE LA BISECCIÓN
El método de la bisección o corte binario es un método de búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo donde exista cambio de signo. El proceso se repite hasta mejorar laaproximación.

Algoritmo

Paso 1
Elegir los valores iniciales Xa y Xb, de tal forma de que la función cambie de signo:
f (Xa) f (Xb) < 0
Pasó 2
La primera aproximación a la raíz se determina con la fórmula del punto medio de esta forma:

Pasó 3
Realizar las siguientes evaluaciones para determinar el intervalo de la raíz:
a. Si f (Xa) f (Xb) < 0, entonces la solución o raíz estáentre Xa y Xpm, y Xb pasa a ser el punto medio (Xpm).
b. Si f (Xa) f (Xb) > 0, entonces la solución o raíz está fuera del intervalo entre Xa y el punto medio, y Xa pasa a ser el punto medio (Xpm).
Pasó 4
Si f (Xa) f (Xb) = 0 ó Error = | Xpm – Xpm – 1 | < Tolerancia
Donde Xpm es el punto medio de la iteración actual y Xpm – 1 es el punto medio de la iteración anterior.
Al cumplirse lacondición del Paso 4, la raíz o solución es el último punto medio que se obtuvo. Para el error relativo porcentual se tiene la siguiente fórmula:

Programa para encontrar raíces utilizando el método de la bisección en Microsoft Excel
A manera de recordatorio, para que aparezcan solamente 6 cifras significativas, en Excel esto se hace en el menú Formato, Celdas…, Número, Categoría Número,Posiciones decimales 6. Para poner el signo porcentual: menú Formato, Celdas…, Número, Categoría Porcentaje.

EJEMPLO 1
Encontrar la raíz de f(x) = x^10 – 1 utilizando el Método de la Bisección con a = 0; b = 1.3; Tol = 0.01

Gráfico de la Función

La raíz aproximada de la función es 1.000391 con un error de 0.01.

Ejemplo 2
Para ilustrar la forma en que podemos usar Excel, vamos a aproximar lasolución de la ecuación

Lo primero es hallar un intervalo en el cual podamos garantizar la existencia de una solución. Por el teorema de las cotas sabemos que esta ecuación tiene sus soluciones dentro del intervalo. Ahora, podemos usar el teorema del valor intermedio para refinar el intervalo a y el teorema de Sturm para garantizar la unicidad de la solución real .El próximo paso es usarExcel.
Y por último, lo único que debemos hacer es ir generando las aproximaciones, para esto arrastramos cada columna una a una. El resultado de esto se muestra en la figura.

1. En las celdas A4 y B4 escribimos los valores de y, respectivamente.
2. En la celda C4 escribimos la fórmula que calculará los puntos medios del intervalo:

3. En la celda D4 escribimos la fórmula quecalculará :

4. En la celda E4 escribimos la fórmula que calculará :

5. En la celda F4 escribimos la fórmula que calculará :

6. En la celda G4 escribimos la fórmula que calculará el error

7. En la celda A5 escribimos la fórmula que calculará el nuevo extremo :

8. En la celda B5 escribimos la fórmula que calculará el nuevo extremo :

El método de la bisección,aunque es conceptualmente claro, tiene inconvenientes importantes. Es muy lento en su convergencia (es decir, tiene que ser muy grande para

Que sea pequeño, por ejemplo, se requiere de iteraciones para obtener un error absoluto menor a en el ejemplo anterior), además una buena aproximación intermedia puede ser descartada inadvertidamente. Sin embargo, el método tiene la importante propiedad deque siempre converge a una solución, además de que lo único que se requiere es que sea continua, es por estas razones que se usa con frecuencia como punto de partida de métodos más eficientes.

MÉTODO DE NEWTON
f(x)
f(x)

X
X

En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para...