calculo

El teorema fundamental del cálculo
Consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.
El teorema es fundamentalporque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton(1630-1677), y Gottfried Leibniz (1646-1716). en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas deestudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.
El teorema fundamental del cálculo nace de una relación muy intima entre el cálculo diferencial y el integral el teorema fundamentalpermite calcular con gran facilidad áreas e integrales, sin tener que calcularlas como límites de sumas. Informalmente se puede decir también que el teorema afirma que la derivación y la integración con operaciones mutuamente inversas.

Demostración Teorema Fundamental del Cálculo
Teorema Fundamental del Cálculo, Primera Parte
Si es continua en, la función está definida por:

Es continuaen
Y derivable en
Y
Demostración

Si y están en, entonces:


Ecuación 2

y así, cuando ,

Suponemos que
,

Dado es continuo


Usando el teorema del Valor Extremo dice que hay números, y en , tales que y , en donde y son los valores mínimo y máximo absolutos de en .
De acuerdo con la propiedad 8 de Integrales,

es decir,

como , podemos dividir esta desigualdad entre :Ahora emplearemos la ecuación 2 y uniéndola con la ecuación anterior obtendremos:

Ecuación 3

Ahora hacemos que
.
Entonces:
y
Comoy existen entre y , decimos que:

Debido a que f es continua en x, Usando la ecuación 3 y la ley de extremos y medios llegamos a la conclusión de que:
Ecuación 4

Si, podemos decir que es un límite unilateral. Si es diferenciable en , entonces escontinua en , modificado para limites unilaterales podemos decir que es continua en
Usando la notación de Leibniz para las derivadas, escribimos el Teorema Fundamental del Cálculo, 1era Parte de la forma:
.
Teorema Fundamental del Cálculo, Segunda Parte
Si es continua en, entonces:

En donde es cualquier antiderivada de, esto es, .
Sea Sabemos que Si es cualquier anti derivada deen,donde F y g difieren en una constante.

Decimos que:


Ejemplo # 1
1. Una piscina se vacía a una velocidad que viene dada por la función, expresada en m3/min. Calcula los metros cúbicos de agua que han salido de la piscina entre el minuto 8 y el minuto 20.




Área de superficies curvas:
El área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún tipo deidealización o límite para medirlo.
Cuando la superficie es desarrollable, como sucede con el área lateral de un cilindro o de un cono el área de la superficie puede calcularse a partir del área desarrollada que siempre es una figura plana. Una condición matemática necesaria para que una superficie sea desarrollable es que su curvatura gaussiana sea nula.
Cuando la superficie no es desarrollable, elcálculo de la superficie o la fórmula analítica para encontrar dicho valor es más trabajoso. Un ejemplo de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura gaussiana coincide con el inverso de su radio al cuadrado, y por tanto no es cero. Sin embargo la esfera es una superficie de revolución.
Superficie de revolución:
Una superficie de revolución generada por una tramo de la curva...