Calculo

10. Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de diferencia, el primero con una velocidad inicial de 50 ms-1 y el segundo con la de 80 ms-1. a) ¿Qué tiempo transcurrirá hasta que los dos se encuentren a la misma altura. b) ¿Qué velocidad tendrá cada uno en ese momento?
Cuando los proyectiles se encuentran a la misma altura se verifica que:
[pic]
[pic]
de donde eltiempo que transcurre desde el primer lanzamiento es:
[pic]
y la velocidad de cada proyectil en ese instante:
[pic]


E 1.- Un punto material oscila con un movimiento armónico simple de 20 Hz de frecuencia. Calcular su periodo y su pulsación.
SE 1.- 
a) [pic]
b) ω = 2πυ = 2π·20 s-1 = 40π rad/s.

E 5.- Un móvil describe un movimiento vibratorio armónico simple de amplitud A. ¿Quédistancia recorre en un intervalo de tiempo igual a un periodo? Razona la respuesta.

SE 5.- El punto vibrante recorre, si el tiempo de recorrido es un periodo, 4 veces la amplitud, según los siguientes pasos (tomando como ejemplo un movimiento en el eje vertical):
a) Sube desde la posición de equilibrio
b) Baja desde la máxima elongación a la posición de equilibrio.
c) Baja desde la posición deequilibrio hasta la máxima elongación
d) Sube desde la máxima elongación hasta la posición de equilibrio


E 7.- El chasis de un automóvil de 1200 kg de masa está soportado por cuatro resortes de constante elástica 20000 N/m cada uno. Si en el coche viajan cuatro personas de 60 kg cada una, hallar la frecuencia de vibración del automóvil al pasar por un bache.

SE 7.-Suponiendo que el peso seencuentra distribuido uniformemente, cada resorte soportará la cuarta parte de la carga. Como la masa total es 1.440 kg, a cada resorte le corresponderán 360 kg; y la frecuencia de las oscilaciones será:
[pic]

E 8.- Una masa de 5 kg se cuelga del extremo de un muelle elástico vertical, cuyo extremo esta fijo al techo. La masa comienza a vibrar con un periodo de 2 segundos. Hallar la constanteelástica del muelle.

SE 8.- De acuerdo con la expresión:[pic]

E 9.- Un resorte de acero tiene una longitud de 15 cm y una masa de 50 gramos. Cuando se le cuelga en uno de sus extremos una masa de 50 gramos se alarga, quedando en reposo con una longitud de 17 cm. Calcular:
a)      la constante elástica del resorte.
b)      La frecuencia de las vibraciones si se le cuelga una masa de 90gramos y se le desplaza ligeramente de la posición de equilibrio.

SE 9.- El alargamiento de un resorte una vez colocada la masa de 50 gramos es de 17 -15 = 2 cm. Aplicando la ley Hooke:
[pic]
Al añadir una masa de 90 gramos, la masa total suspendida es m´ = 0,14 Kg. El periodo de oscilación es:
[pic]
y la frecuencia υ = 1/T = 1/0,47 = 2,13 s.
 





E 10.- Una masa de 200 gramos unidaa un muelle de constante elástica K = 20 N/m oscila con una amplitud de 5 cm sobre una superficie horizontal sin rozamiento.
a)      Calcular la energía total del sistema y la velocidad máxima de la masa.
b)      Hallar la velocidad de la masa cuando la elongación sea de 3 cm.
c)      Hallar la energía cinética y potencial elástica del sistema cuando el desplazamiento sea igual a 3 cmd)      ¿Para qué valores de la elongación la velocidad del sistema es igual a 0,2 m/s?

SE 10.- a) La energía total del sistema es: ET = (1/2) KA2 = (1/2) 20·0,052 = 0,025 J.
La máxima velocidad de la masa tendrá lugar en la posición de equilibrio ( s = 0 ), en la que se cumple: ET = Ecmax = (1/2) mv2 max = 2,5·10-2 J ; por tanto vmax = 0,5 m/s
b) la pulsación del movimiento armónico es[pic]
y la velocidad de la masa en la posición indicada: [pic], donde los signos positivo y negativo indican que la masa en ese instante podría estar moviéndose hacia la izquierda o hacia la derecha.
c) Ec = (1/2) mv2 = 1,6·10-2 J
Epx = (1/2) Ks2 = 0,9·10-2 J
d) [pic], sustituyendo los valores resulta que s = ±4,58·10-2 m = ±4,58 cm.

[pic]
E 13.- Del extremo de un muelle cuelga una masa...