calculo

Teorema de Rolle
En cálculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual una función derivable se anula cuando el valor de estaen los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a susaplicaciones.1
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Enunciado[editar · editar código]

Se puede enunciar de la siguiente manera,
Si \ f es una función continua definida en un intervalo cerrado \ [a, b], derivable sobre elintervalo abierto \ (a, b) y \ f\left(a\right) = f\left(b\right) , entonces:
Existe al menos un punto \ c perteneciente al intervalo \ (a, b) tal que \ f'(c) = 0.
Demostración[editar · editar código]Se sabe que existen tres posibilidades, o bien la función que consideramos es constante, o bien tiene algún punto x donde el valor de la función es mayor o bien este valor es menor que en losextremos. Para el primer caso es trivial que en algún punto la función tiene derivada nula (en la definición de derivada el cociente incremental es cero).
Gracias a la continuidad de f, la imagen de [a,b], es un conjunto conexo de R, y por lo tanto es un intervalo, el intervalo imagen.
La imagen por una función continua de un conjunto compacto es un conjunto compacto, y por lo tanto el intervaloimagen es cerrado y de longitud finita: es de la forma [m, M], con m el valor mínimo de f y M su valor máximo.
Si m = M , la función es constante, y cualquier punto c de (a, b) conviene. Descartado estecaso, m ≠ M significa que uno de los dos no es igual a f(a) = f(b). Supongamos que sea M. Entonces M > f(a) = f(b), y por lo tanto el máximo M está alcanzado en el interior del intervalo.
Sea c en[a, b] tal que f(c) = M. Por definición del máximo, M = f(c) ≥ f(x) para todo x de [a, b]. Entonces el cociente (f(c) - f(x)) / (c - x) es positivo cuando x < c (porque su numerador es siempre...