calculo

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UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO
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EJERCICIOS DE DIFERENCIACION
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CALCULO VECTORIAL
1. Sea f : R2 −→ R dada por
f (x, y) :=

x + y, si x = 0 ∨ y = 0,
1,
si x = 0 ∧ y = 0.

Determine Df (0,0). Calcule(si existen) ∂u f (0, 0) donde u = (u1 , u2 ) es
un vector con componentes no nulas.
2. Sea f : R2 −→ R definida por
f (x, y) :=

α(|x| + |y|), si (x, y) = (0, 0),
β,
si (x, y) = (0,0).

Hallar la relaci´n entre α y β para que existan las derivadas parciales
o
de f en (0, 0).
3. Dada la funci´n
o
√ xy

x2 +y 2

f (x, y) :=

, si (x, y) = (0, 0),

0,

si (x, y) =(0, 0).

Responda:
a) ¿f es continua en (0, 0)?
b) Determine ∂f (0, 0) y ∂f (0, 0).
∂x
∂y
4. Demuestre que existe ∂u f (0, 0) para todo u ∈ R2
funci´n f : R2 −→ R definida por
o
f (x, y) :=x4 −y 4
,
x2 +xy+y 2

0,

{0R2 }, siendo la

si (x, y) = (0, 0),
si (x, y) = (0, 0).

5. Estudie la continuidad y la existencia de las derivadas direccionales de
la funci´n f : R2 −→ Rdada por
o
f (x, y) :=

1
x2 + y 2 sin x2 +y2 , si (x, y) = (0, 0),
0,
si (x, y) = (0, 0).

Jonathan Gonz´lez Ospino
a

6. Calcule el vector gradiente de las siguientes funciones:
z
a) f(x, y, z) := (x + y)y en (1, 1, 1).
x
b) f (x, y) := sin2 (xy + ln x ) + 4x2 y 0 et dt en (1,1).
y
x cos t
c) f (x, y) := y e t dt en (2,1).
7. Calcule la matriz jacobiana de las siguientesfunciones:
cos x2
a) f : R2 −→ R3 , f (x, y) := e2xy , x2 +y2 , ln x2 + y 2 .
z

b) f : R3 −→ R2 , f (x, y, z) := xy , (x + y)z .
2

1
c f : R −→ R4 , f (x) := 4x5 , arctan √x , cos x ln x, ex .8. Suponga que T : Rn −→ Rm es una transformaci´n lineal. Demuestre
o
que T es diferenciable en todo punto de Rn y adem´s DT = T .
a
9. Considere f : R2 −→ R definida por f (x, y) := |x| + |y|.Demuestre que
esta funci´n no es diferenciable en el origen.
o
10. Considere la funci´n f : R2 −→ R dada por
o
(x2 + y 2 ) sin √
f (x, y) :=
0,

1
,
x2 +y 2

si (x, y) = (0, 0),
si (x,...