calculo
Páginas: 2 (279 palabras)
Publicado: 1 de diciembre de 2013
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ
ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
Cálculo 4
Ejercicios Resueltos de Integrales dobles y Aplicaciones
Semestre Académico 2011-1
Prof. Andrés Beltrán
1
dxdy, donde D es la región del primer cuadrante limitada por el
(1 + x2 + y2 )
eje X y la lemniscata (x2 + y2 )2 = x2 − y2 .
Solución
Observe que r = 0 si θ = π . Además, la lemniscata en términos decoordenada polares toma la forma
4
√
r = cos 2θ. Asimismo, r = 0 si θ = π . Por lo tanto, al usar coordenadas polares la región nueva de
4
√
π
,0
r
cos 2θ. Luego, usando el teorema de cambiode variables
integración es D∗ : 0
θ
4
resulta
1. Calcule la integral
D
D
1
dx dy =
2 + y2 )2
(1 + x
=
√
π
4
0
1
2
cos 2θ
0
π
4
0
1
r dr
dθ =
2 )2(1 + r
2
π
4
0
−1
1 + r2
√
cos 2θ
dθ
r=0
1
θ
1
− sec2 θ + 1 dθ = tan θ +
2
4
2
π
2
θ=0
=
π 1
− .
8 4
2. Sea D la región en el primer cuadrante limitadapor las gráficas de las siguientes ecuaciones
1,
2
x
4a2
+
2
y
4b2
= 1, x = 0, y = 0, calcule la integral
x2
a2
+
y2
b2
=
xy dx dy
D
Solución
Pasando acoordenadas polares modificadas, T : x = ar cos θ, y = br sen θ, donde 0 θ π y 1
2
Luego, teniendo en cuenta que el jacobiano de esta transformación es ∂(x,y) = abr, entonces
∂(r,θ)
xy dx dy =
D
π
20
=
π
2
2.
2
(ar cos θ)(br sen θ)(abr) dr dθ
1
2
a 2 b2
15
a 2 b2
=
.
30
a2 b2 r3 dr dθ =
0
1
2 2
=
r
a b
sen2 θ
30
π
2
θ=0
π
2
sen θd(senθ)
0
3. Halle la masa, y la primera coordenada del centro de masa de una lámina que tiene la forma de la
región
D = {(x, y) ∈ R2 : 0 x 1, x2 y x},
x
si en cada punto (x, y) ∈ D su densidad esf(x, y) =
.
1+y
Solución
1
M(D) =
√
f(x, y)dA =
D
0
y
y
x
1
dx dy =
1+y
2
1
0
y − y2
1
dy =
1+y
2
1
2−y−
0
2
1+y
dy =
3
− ln 2.
4
ABC...
ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
Cálculo 4
Ejercicios Resueltos de Integrales dobles y Aplicaciones
Semestre Académico 2011-1
Prof. Andrés Beltrán
1
dxdy, donde D es la región del primer cuadrante limitada por el
(1 + x2 + y2 )
eje X y la lemniscata (x2 + y2 )2 = x2 − y2 .
Solución
Observe que r = 0 si θ = π . Además, la lemniscata en términos decoordenada polares toma la forma
4
√
r = cos 2θ. Asimismo, r = 0 si θ = π . Por lo tanto, al usar coordenadas polares la región nueva de
4
√
π
,0
r
cos 2θ. Luego, usando el teorema de cambiode variables
integración es D∗ : 0
θ
4
resulta
1. Calcule la integral
D
D
1
dx dy =
2 + y2 )2
(1 + x
=
√
π
4
0
1
2
cos 2θ
0
π
4
0
1
r dr
dθ =
2 )2(1 + r
2
π
4
0
−1
1 + r2
√
cos 2θ
dθ
r=0
1
θ
1
− sec2 θ + 1 dθ = tan θ +
2
4
2
π
2
θ=0
=
π 1
− .
8 4
2. Sea D la región en el primer cuadrante limitadapor las gráficas de las siguientes ecuaciones
1,
2
x
4a2
+
2
y
4b2
= 1, x = 0, y = 0, calcule la integral
x2
a2
+
y2
b2
=
xy dx dy
D
Solución
Pasando acoordenadas polares modificadas, T : x = ar cos θ, y = br sen θ, donde 0 θ π y 1
2
Luego, teniendo en cuenta que el jacobiano de esta transformación es ∂(x,y) = abr, entonces
∂(r,θ)
xy dx dy =
D
π
20
=
π
2
2.
2
(ar cos θ)(br sen θ)(abr) dr dθ
1
2
a 2 b2
15
a 2 b2
=
.
30
a2 b2 r3 dr dθ =
0
1
2 2
=
r
a b
sen2 θ
30
π
2
θ=0
π
2
sen θd(senθ)
0
3. Halle la masa, y la primera coordenada del centro de masa de una lámina que tiene la forma de la
región
D = {(x, y) ∈ R2 : 0 x 1, x2 y x},
x
si en cada punto (x, y) ∈ D su densidad esf(x, y) =
.
1+y
Solución
1
M(D) =
√
f(x, y)dA =
D
0
y
y
x
1
dx dy =
1+y
2
1
0
y − y2
1
dy =
1+y
2
1
2−y−
0
2
1+y
dy =
3
− ln 2.
4
ABC...
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