calculo

Tarea de cálculo integral
Bibliografía: http://elisa.dyndns-web.com/~tania/Mate2Apuntes.pdf

1.1 Medición aproximada de figuras amorfas.
Aunque será necesario definirla de forma un tanto complicada, la integral viene
a formalizar un concepto sencillo e intuitivo: el del área. En geometría elemental se
deducen formulas para las áreas de muchas figuras planas, pero para el área de una
figuraamorfa (ver Figura 3.1 o una región debajo de una curva se define a veces como el número de cuadrados de lado unidad que caben en una región.

Las veces que cabe un cuadrado unitario en una región, puede ser inadecuada
para ciertas regiones como los círculos ya que no parece ser posible dividir el cuadrado
unidad en pedazos que puede ser yuxtapuestos de manera que formen un círculo. Dicho
deotra manera es fácil obtener el área de regiones acotadas por rectas.

1.2 Notación sumatoria
En el desarrollo de la integral definida emplearemos sumas de muchos números.
Para expresar dichas sumas en forma compacta, es conveniente usar la notación de
suma. Para ilustrar esto, sea {a1, a2, . . . , an} una colección de números. El símbolo

denotara su suma, es decir:

La letra mayúsculagriega Σ (sigma) indica una suma y el símbolo ai representa el
termino i-´esimo. La letra i se llama el índice o la variable de la suma y los números
1 y n indican sus valores extremos.
1.3 Suma de Riemann
Sea f una función definida en un intervalo cerrado [a, b] y sea P una
participación de [a, b]. Una suma de Reimann de f para P es cualquier expresión
RP de la forma:

donde wi es algúnnúmero en [xi−1 − xi] para i = 1, 2, . . . , n.
Debido a que f(wi) no es necesariamente el valor máximo o mínimo de f en
[xi−1, xi] puede ser que los rectángulos pueden no ser ni incritos ni circunstritos. Ahora
es importante mencionar que no siempre se especificara el número de su intervalos de
la partición P

donde se entiende que los términos de la forma f(wi)∆xi deberán sumarse sobre todoslos subintervalos de la partición P.
Sea f una función definida sobre un intervalo cerrado [a, b] y sea I un
número real. La afirmacion


1.4 Definición de integral definida
Sea f una función definida en un intervalo cerrado [a, b]. La integral
definida de f desde a hasta b denotada por f(x) dx, esta dada por:

siempre que el limite exista.
Si la integral definida de f desde a hasta b existe,se dice que f es integrable
en el intervalo cerrado [a, b], dicho en otras palabras si f es continua en ese intervalo
es integrable en [a, b] , o decimos que . El proceso de hallar el número representado por el limite anterior, se llama calcular la integral. el símbolo
se le llama signo de la integral, a los números a y b se les llama limites de la integración, a
es el límite inferior delintervalo y b es el límite superior del intervalo. El termino f(x)
se le llama integrando. Cuando el límite inferior es mayor que el límite superior se
extiende la definicion.

1.5 Teorema de existencia
Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a, b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c  perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica: Que elvalor de f (c) es el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a, b].Quizá sea interesante hacer varias observaciones:
1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad.
2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.
3) El cálculode dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza, presupone el cálculo de una integral definida.



1.6 Propiedades de la integral definida
Cuando hablamos de integrales definidas nos referimos que dichas integrales cuentan con un párametro definido o puntos de integración definidas para encontrar el valor del área bajo la curva de una función F(x), tal que si una función f(x) es...