Calculo

Límites que involucran funciones trigonométricas
Estudiaremos aquí los límites de las funciones seno y coseno, y algunos límites especiales que no pueden resolverse por los procedimientos ya estudiados.
Vamos a probar que:

a. |   donde es un ángulo que se mide en radianes. |
 
Recordemos que la medida en radianes de un ángulo se define por la igualdad siguiente: , donde el lalongitud del arco interceptado por el ángulo, sobre una circunferencia de radio , cuyo centro coincide con el vértice del ángulo, como se muestra en la siguiente figura:

 
es la medida del arco
es el radio del círculo
Consideramos ahora un círculo de radio uno y un ángulo agudo cuya medida en radianes es
 

En este caso como se tiene que por lo que
El triángulo es rectángulo y suscatetos miden respectivamente (Note que ).
Por el teorema de Pitágoras se obtiene que:

Como la longitud de es menor que la longitud del arco , es decir, es menor que , se tiene que:

Como los dos sumandos del primer miembro de la desigualdad anterior son positivos, entonces cada uno de ellos es menor que la suma de ambos, por lo que:

y como entonces:

de donde
Si es un númeropositivo, podemos tomar de tal forma que siempre que .
De otra manera: siempre que por lo que , y similarmente, siempre que por lo que
De esta forma hemos probado los dos límites.
b.
Vamos a probar ahora que
Observe que este límite no puede resolverse por los procedimientos ya estudiados de factorización, racionalización o cambio de variable, y que al evaluar directamente se obtiene la forma .Consideremos nuevamente un círculo unitario y designemos por el ángulo central (siendo en radianes su medida), con , como se muestra en la figura siguiente:
 

 
Puede observarse que: el área del el área del sector el área del (1). Además se tiene que:
el área del .
el área del sector
el área del
Sustituyendo en (1):
de donde
Como entonces , por lo que podemos dividir lostérminos de la desigualdad anterior por , sin alternar el sentido de la desigualdad, obteniendo entonces que:
por lo que
Esta última desigualdad también es válida cuando pues y además
Como y y , aplicando el teorema 11 se concluye que:

Ejemplos:
1.
2.
Observe que en este caso el argumento es , por lo que en el denominador se necesita también la expresión , de ahí que se lleve acabo el siguiente procedimiento:

3. pues cuando
4.

5.

6. Ejercicio
 
7. Ejercicio
 
En los siguientes ejemplos utilizaremos un procedimiento común en algunos límites trigonométricos y que consiste en multiplicar por el conjugado de una expresión.
8.
Multiplicamos por el conjugado de que es como sigue:

9.

10.
Como entonces cuando .Además
Desarrollemos :

Luego:

11. Ejercicio
  
12. Ejercicio
            
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node2.html
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