Calculo

Programa de Matemática Dirección de Formación General

PAUTA PRUEBA Nº2 MAT330 F1
Datos del Alumno: Nombre: Sección:

Instrucciones: 1. La prueba que se dispone a desarrollar está compuesta por 10 preguntas de desarrollo, donde cada pregunta tienen un valor asignado. En todas las preguntas deberá argumentar matemáticamente su respuesta. El desarrollo deberá ser claro y preciso, de otraforma, será su responsabilidad si la pregunta no es corregida. 2. Esta prueba será evaluada con una escala de 1 a 7. La nota mínima de aprobación (4,0) se obtiene con 24 puntos y la nota máxima (7,0) con 40 puntos. 3. Dispone de un tiempo máximo de 1 hora 30 minutos para responder. 4. Se permite el uso de calculadora y se prohíbe el uso de teléfonos celulares.

Preguntas:

1. Un electrón manipuladoen un laboratorio se mueve, de modo que la distancia recorrida d (t ) en metros, transcurridos t segundos de su partida, está dada por:

d (t ) = (t 2 + 2t ) 3 .Encuentre
(4 Ptos.)

la rapidez instantánea del electrón a los 4 segundos de haber partido.

v(t ) = d ´(t ) = 3(t 2 + 2t ) 2 ⋅ (2t + 2)
2 Ptos.

v(4) = 3(4 2 + 2 ⋅ 4) 2 ⋅ (2 ⋅ 4 + 2) = 17.280
1 Pto.

La rapidez instantáneadel electrón a los 4 segundos es de

17.280

m seg

1 Pto.

2. Un carro se mueve a lo largo de un riel horizontal, de tal manera, que su posición en el instante t desde el punto de partida, está especificada por:

d (t ) = t 3 + 4t 2 + 8t La distancia se

mide en cm. y el tiempo en segundos. ¿Cuál es la aceleración instantánea cuando han transcurrido 5 segundos? (4 Ptos.)

v(t ) = d´(t ) = 3t 2 + 8t + 8
a (5) = 6 ⋅ 5 + 8 = 38

1 Pto.

a (t ) = d ′′(t ) = 6t + 8 1 Pto.

1 Pto.

La aceleración instantánea es de

38

cm seg 2
1 Pto.

1

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3. La utilidad total de una compañía al producir y vender x unidades diarias de un producto es: = 260 − 0,1 − 3.000 euros. ¿Cuál es la utilidad marginal al producir yvender 50 artículos? (4 Ptos.)

Utilidad marginal

UM ( x ) = U '( x ) = 260 − 0, 2 x UM (50) = 260 − 0, 2 ⋅ 50 = 250

2 Ptos. 1 Pto. 1 Pto.

La utilidad marginal es de 250 euros

4. El ingreso, en dólares, cuando se demanda x zapatillas en una tienda deportiva viene dada por: = √4.000 + 12 ∙ . Determine la función de ingreso marginal. (4 Ptos.)

Ingreso marginal:

IM ( x) = I ′( x) =IM ( x ) = I ′( x ) =

(

′ 4.000 + 12 x ⋅ x +

)

(

4.000 + 12 x ⋅ x ′

)

1 Pto.

1 1 (4.000 + 12 x )− 2 ⋅ 12 ⋅ x + 2

(

4.000 + 12 x ⋅ 1

)

2 Ptos.

I ′( x) =

6x 4.000 + 12 x

+ 4.000 + 12 x

1 Pto.

2

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5. Se tiene la siguiente función de Costos de almacenaje (en dólares) de

x televisores:

C(x ) = 8 x +

3.920.000 . x
(3 Ptos.)

a) ¿Qué tamaño de pedido minimiza el costo total de almacenaje? 1 Pto. 1 Pto.

C ' (x ) = 8 − C ' ' (x ) =

3.920.000 x2

=>

8−

3.920.000 x2

=0

=>

x = ±700 ⇒ x = 700

7.840.000 x3

=> C ' ' (700) = 0,0229 > 0

hay mínimo

0,5 Ptos.

El costo es mínimo para 700 televisores

0,5 Ptos.

b) ¿Cuál es el mínimo costo total dealmacenaje?

(1 Pto.)

C ( x ) = 8 ⋅ 700 +

3.920.000 = 11.200 700

0,5 Ptos. 0,5 Ptos.

El costo mínimo es de 11.200 dólares

6. Un estudio realizado en una fábrica arroja que su productividad se comporta de acuerdo a la siguiente expresión:

P( x ) , medido en porcentaje, representa la productividad generada cuando se contrata una cantidad de x trabajadores.
donde a) ¿Cuántostrabajadores se deben contratar para obtener máxima productividad? 1 Pto. 1 Pto. (3 Ptos.)

P( x ) = −0,007 x 2 + 1,26 x + 23 ,

P ' ( x ) = −0,014 x + 1,26
P ' ' ( x ) = − 0,014

=>

− 0,014 x + 1,26 = 0

=>

x = 90
0,5 Ptos.

=> P ' ' (90 ) = − 0,014 < 0

hay máximo 0,5 Ptos.

La productividad es máxima con 90 trabajadores

b) ¿Cuánto es la máxima productividad?

(1 Pto.)...