CALCULO

Calcula la función inversa de las siguientes funciones:

1)   y = |x - 2|

En primer lugar definimos la función en intervalos:



Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)   en cada rama:



A continuación, intercambiamos las variables:



2)   y = |4 - x2|

En primer lugar definimos la función en intervalos:



Resolvemos la inecuación:   4 - x2 ≥ 0
Lasraíces de   4 - x2 = 0   son   x = ± 2
A continuación estudiamos el signo en los siguientes intervalos:

•   A = (-∞, -2)   ⇒   Para   x = - 3   tenemos que   f(-3) = 4 - (-3)2 = 4 - 9 = - 5 < 0
•   B = (-2, 2)   ⇒   Para   x = 0   tenemos que   f(0) = 4 - (0)2 = 4 - 0 = 4 > 0
•   C = (2, +∞)   ⇒   Para   x = 3   tenemos que   f(3) = 4 - (3)2 = 4 - 9 = - 5 < 0

Por lo tanto la función originalqueda definida de la siguiente manera:


Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)   en cada rama:



A continuación, intercambiamos las variables:

1) El dominio de las funciones cuadráticas es R.

2) Tiene un eje de simetría cuya fórmula es:

     

3) El vértice de la parábola es:

     




4) Corta al eje X en dos puntos, uno o ninguno, según el número deraíces reales de   ax2 + bx + c = 0 .

5) Corta el eje Y en el punto   (0, c) .

6) El vértice es un mínimo si   a > 0   y un máximo si   a < 0 .

7) Es concava si   a > 0   y convexa si   a < 0 .

8) Al aumentar   a   en valor absoluto, la parábola se hace más estrecha.

Tipos de funciones cuadráticas
En una función cuadrática   f(x) = ax2 + bx + c  ,  con   a ≠ 0 .

Si   b =0   y   c = 0
La función   f(x) = ax2   tiene su vértice en el punto   (0, 0)   y su eje de simetría es el eje Y.


Si   b = 0   y   c ≠ 0
La función   f(x) = ax2 + c   tiene su vértice en el punto   (0, c)   y su eje de simetría es el eje Y.



Si   b ≠ 0   y   c = 0
La función   f(x) = ax2 + bx   tiene su vértice y su eje de simetría en:

      



Representa graficamente la función:   f(x) =x2 - 5x + 6
1) Puntos de corte con los ejes:

Para   x = 0   tenemos que f(0) = 6   luego el punto de corte con el eje Y es   (0, 6) .

Para   y = 0   tenemos que 0 = x2 - 5x + 6   así que resolvemos la ecuación de segundo grado:

      

Por lo tanto, los puntos de corte con el eje X son   (2, 0)   y   (3, 0) .

2) Vértice de la parábola:



También podemos hacer   yv = f(5/2)3) Máximos o mínimos:

Como   a > 0   entonces tenemos un mínimo, que coincide con el vértice.



4) Crecimiento o decrecimiento:

Como   a > 0, tenemos que la función es decreciente en el intervalo   (- ∞, 5/2)   y creciente en el intervalo   (5/2, + ∞).

5) Concavidad o convexidad:

Como   a > 0   la función es concava en todo su dominio.

6) Tabla de valores:

Construimos unatabla de valores con los puntos de corte con los ejes, el vértice y otros puntos alrededor de él.





Representa graficamente la función:   f(x) = - x2 + 5x - 6
1) Puntos de corte con los ejes:

Para   x = 0   tenemos que f(0) = - 6   luego el punto de corte con el eje Y es   (0, - 6) .

Para   y = 0   tenemos que 0 = - x2 + 5x - 6   así que resolvemos la ecuación de segundo grado,siendo sus raíces   x = 2   y   x = 3.

Por lo tanto, los puntos de corte con el eje X son   (2, 0)   y   (3, 0) .

2) Vértice de la parábola:



También podemos hacer   yv = f(5/2)



3) Máximos o mínimos:

Como   a < 0   entonces tenemos un máximo, que coincide con el vértice.



4) Crecimiento o decrecimiento:

Como   a < 0, tenemos que la función es creciente en elintervalo   (- ∞, 5/2)   y decreciente en el intervalo   (5/2, + ∞).

5) Concavidad o convexidad:

Como   a < 0   la función es convexa en todo su dominio.

6) Tabla de valores:

Construimos una tabla de valores con los puntos de corte con los ejes, el vértice y otros puntos alrededor de él.






Una función polinómica de tercer grado, o función cúbica, se expresa de la siguiente...